Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
\quad\left\{\begin{array}{r}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-y+2 z=3 \\\ x-y+4 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando dois métodos: eliminação de Gauss e decomposição LU. O sistema e as informações dadas são:
\left\{\begin{array}{r} x+2y-z=2\\[4pt] 2x-y+2z=3\\[4pt] x-y+4z=4 \end{array}\right.
Informações relevantes (tiradas diretamente do enunciado):
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
  • O vetor de termos independentes é \mathbf{b}=(2,\;3,\;4)^{T}.
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
O que será feito:
  • Resolver o sistema por eliminação de Gauss (reduzir a matriz aumentada a forma triangular superior e fazer retro-substituição).
  • Construir a decomposição A=LU (método de Doolittle, com L tendo diagonal unitária) e usar LU para resolver Ax=b por substituições direta e reversa.]

Passo 2

Breve aula sobre eliminação de Gauss (ideia e operações permitidas).
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada (A\mid b) numa forma triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) usando operações elementares de linha.
  • Operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Depois de obter triangular superior, usa-se retro-substituição para obter as incógnitas.
  • Vou aplicar essas operações explicitando cada passo e cada conta (sem pular etapas).
Representação inicial (matriz aumentada):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 4 & 4 \end{array}\right)]

Passo 3

Eliminação de Gauss: zerar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna.
Pivô na primeira coluna é \;u_{11}=1 (primeira linha). Fazer:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculo linha a linha:
  • Para R_2: (2,-1,2\mid3) - 2(1,2,-1\mid2) = (2-2,\; -1-4,\; 2-(-2)\mid 3-4)
R_2 = (0,\;-5,\;4\mid -1).
  • Para R_3: (1,-1,4\mid4) - (1,2,-1\mid2) = (0,\; -3,\;5\mid 2)
R_3 = (0,\;-3,\;5\mid 2).
Matriz aumentada após essas operações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -5 & 4 & -1\\[4pt] 0 & -3 & 5 & 2 \end{array}\right)]

Passo 4

Continuar eliminação: zerar o elemento abaixo do pivô da segunda coluna ( a_{32}) usando a segunda linha como pivô.
Pivô na segunda coluna é \;u_{22}=-5. Fator para zerar a_{32} é
\ell = \frac{a_{32}}{u_{22}} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}.
Aplicar:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{3}{5}R_2.
Cálculo componente a componente:
  • Para a coluna y: -3 - \frac{3}{5}(-5) = -3 +3 = 0 (confirma o zero).
  • Para a coluna z: 5 - \frac{3}{5}\cdot 4 = 5 - \frac{12}{5} = \frac{25-12}{5} = \frac{13}{5}.
  • Para o lado direito: 2 - \frac{3}{5}(-1) = 2 + \frac{3}{5} = \frac{10+3}{5} = \frac{13}{5}.
A linha R_3 fica (0,\;0,\;\dfrac{13}{5}\mid \dfrac{13}{5}).
Agora a matriz aumentada está triangular superior:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2\\[6pt] 0 & -5 & 4 & -1\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{13}{5} & \dfrac{13}{5} \end{array}\right)]

Passo 5

Retro-substituição (resolver a partir da última equação).
Equações correspondentes às linhas finais:
  • Da terceira linha: \dfrac{13}{5}z = \dfrac{13}{5}. Logo
z = 1.
  • Da segunda linha: -5y + 4z = -1. Substituindo z=1:
-5y + 4 = -1 \quad\Rightarrow\quad -5y = -5 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
  • Da primeira linha: x + 2y - z = 2. Substituindo y=1,\;z=1:
x + 2\cdot 1 - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x +1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Conclusão pelo método de Gauss: (x,y,z)=(1,1,1).

Passo 6

Agora a aula sobre decomposição LU (método de Doolittle) e aplicação concreta.
  • Objetivo: escrever A=LU com L triangular inferior com diagonal igual a 1 e U triangular superior.
  • Vantagem: se for preciso resolver Ax=b para vários b, basta fazer Ly=b (substituição direta) e depois Ux=y (retro-substituição).
  • Relação com eliminação de Gauss: os multiplicadores usados para zerar abaixo dos pivôs formam as entradas de L.
Tomando
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 4 \end{pmatrix},
vamos construir L e U passo a passo (sem permutar linhas, já que a eliminação não requereu troca).]

Passo 7

Construção de U e L (passos do Doolittle).
  • Passo inicial: primeira linha de U é a primeira linha de A:
u_{11}=1,\quad u_{12}=2,\quad u_{13}=-1.
  • Os multiplicadores da coluna 1 (entradas l_{21} e l_{31} em L) são
l_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{1}=2,\qquad l_{31}=\frac{a_{31}}{u_{11}}=\frac{1}{1}=1.
Até aqui:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad\text{(ainda falta \(l_{32}\)).}
  • Atualizar a segunda linha de U usando u_{2j}=a_{2j}-l_{21}u_{1j}:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12} = -1 - 2\cdot 2 = -5,
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13} = 2 - 2\cdot(-1) = 4.
Logo a segunda linha de U é (0,\,-5,\;4).
  • Agora calcular l_{32} (multiplicador para zerar posição a_{32} após a primeira etapa):
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}} = \frac{-1 - 1\cdot 2}{-5} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}.
Colocar em L na posição (3,2).
  • Finalmente, calcular u_{33}:
u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23} =4 - 1\cdot(-1) - \frac{3}{5}\cdot 4 =4+1 - \frac{12}{5} =\frac{25-12}{5}=\frac{13}{5}.
As matrizes finais são:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & \dfrac{3}{5} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{13}{5} \end{pmatrix}.
Observação: os l_{ij} usados aqui coincidem com os multiplicadores que apareciam nas operações de eliminação feitas antes.]

Passo 8

Resolver Ax=b usando A=LU. Primeiro resolver Ly=b por substituição direta (forward substitution), depois Ux=y por retro-substituição.
Escrevendo b=(2,3,4)^{T}, o sistema Ly=b é:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & \dfrac{3}{5} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt] y_2\\[4pt] y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\\[4pt] 4\end{pmatrix}.
Resolução (forward):
  • y_1 = 2.
  • 2y_1 + y_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 3 - 2\cdot 2 = -1.
  • 1\cdot y_1 + \dfrac{3}{5}y_2 + y_3 = 4 \Rightarrow y_3 = 4 - y_1 - \dfrac{3}{5}y_2.
Calcular y_3:
y_3 = 4 - 2 - \frac{3}{5}(-1) = 2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}.
Portanto y=(2,\,-1,\;\tfrac{13}{5})^{T}.]

Passo 9

Agora resolver Ux=y (retro-substituição), com
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{13}{5} \end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\\[4pt]\dfrac{13}{5}\end{pmatrix}.
Equações:
  • Da terceira linha: \dfrac{13}{5}x_3 = \dfrac{13}{5} \Rightarrow x_3=1.
  • Da segunda linha: -5x_2 + 4x_3 = -1. Substituindo x_3=1: -5x_2 +4 = -1 \Rightarrow x_2=1.
  • Da primeira linha: x_1 + 2x_2 - x_3 = 2. Substituindo x_2=1,\;x_3=1: x_1 +2 -1 =2 \Rightarrow x_1=1.
Resultado pelo método LU: (x,y,z)=(1,1,1), mesmo que obtido por eliminação direta.]

Resposta

\,x=1
\,y=1
\,z=1

Exercícios relacionados