Decompor em soma de frações elementares a função
x^2-x-1(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado nos pede para decompor em frações parciais a função racional x^2-x-1(x-1)(x-2)(x-3). Isso faz parte do conteúdo de decomposição em soma de frações elementares para fatores lineares distintos.

Passo 2

Como os fatores do denominador são lineares e diferentes, assumimos a forma geral da decomposição:
x^2-x-1(x-1)(x-2)(x-3) = Ax-1 + Bx-2 + Cx-3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x-2)(x-3) para obter uma identidade polinomial válida para todo x:
x^2 - x - 1 = A(x-2)(x-3) + B(x-1)(x-3) + C(x-1)(x-2)

Passo 4

Usamos o método cover-up avaliando em cada zero do denominador para achar A, B e C:
  • Em x = 1: 1^2-1-1 = -1 e $A(1-2)(1-3)=2A$ implica A(1-2)(1-3)=2A, logo 2A=-1.
  • Em A=-tfrac12: x = 2 e $B(2-1)(2-3)=-B$ implica 2^2-2-1 = 1, logo B(2-1)(2-3)=-B.
  • Em -B=1: B=-1 e $C(3-1)(3-2)=2C$ implica x = 3, logo 3^2-3-1 = 5.

Passo 5

Tendo encontrado A=-tfrac12, B=-1 e C=tfrac52, estamos prontos para escrever a decomposição final.

Resposta

x^2-x-1(x-1)(x-2)(x-3) = -12(x-1) - 1x-2 + 52(x-3)

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