Sejam x0. Provar que
sumk=0^n xk^n+1 ln k(0)=(-1)^n x0 ldots xn

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para nós distintos x0 vale
sumk=0^n xk^n+1,ln k(0)=(-1)^n x0x1cdots xn
Estamos no conteúdo de interpolação polinomial de Lagrange e vamos usar a fórmula do polinômio interpolador e seu termo de resto para uma função f(x)=x^n+1.

Passo 2

Definimos o polinômio fundamental de Lagrange para cada índice k como
ln k(x)=prodsubstackj=0 jneq k^n x - xjxk - xj
Por construção, ln k(xj)=de, ou seja, ln k(xj)=1 se j=k e 0 caso contrário.

Passo 3

Seja Pn(x) o polinômio de grau <= n que interpola f(x)=x^n+1 nos nós x0,dots,xn. Pela forma de Lagrange,
Pn(x)=sumk=0^n f(xk),ln k(x)=sumk=0^n xk^n+1,ln k(x)
O teorema do resto garante que, para algum xi entre os nós,
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!prodj=0^n (x - xj)

Passo 4

Como f(x)=x^n+1 tem f^(n+1)(xi)=(n+1)!, obtemos para x=0
0 - Pn(0)=Rn(0)=prodj=0^n(0-xj)=(-1)^n+1x0x1cdots xn
Logo
Pn(0)=sumk=0^n xk^n+1,ln k(0)=-(-1)^n+1x0cdots xn=(-1)^n x0cdots xn

Passo 5

Isso coincide exatamente com o que queríamos provar:

Resposta

(-1)^nx0x1cdots xn

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