Sejam
. Provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para nós distintos
vale
Estamos no conteúdo de interpolação polinomial de Lagrange e vamos usar a fórmula do polinômio interpolador e seu termo de resto para uma função
.
Passo 2
Definimos o polinômio fundamental de Lagrange para cada índice
como
Por construção,
, ou seja,
se
e
caso contrário.
Passo 3
Seja
o polinômio de grau
que interpola
nos nós
. Pela forma de Lagrange,
O teorema do resto garante que, para algum
entre os nós,
Passo 4
Como
tem
, obtemos para
Logo
Passo 5
Isso coincide exatamente com o que queríamos provar: