Como funciona o Método da Decomposição/Fatoração LU para um sistema de equações lineares?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um sistema de equações lineares da forma A x = b. O conteúdo aqui é a fatoração LU, que permite resolver o sistema em duas etapas triangulares mais simples usando o processo de eliminação de Gauss.

Passo 2

Objetivo da fatoração: encontrar matrizes L e U tais que A = L U, onde L é triangular inferior com 1 na diagonal principal e U é triangular superior.

Passo 3

Aplicação da eliminação de Gauss: para cada passo k=1,2,dots,n-1, computa-se o multiplicador ellik = aik/akk para i=k+1,dots,n. Em seguida, subtrai-se ellik vezes a linha k da linha i. Esses ellik são armazenados como elementos de L.

Passo 4

Construção das matrizes L e U: ao final das eliminações, os multiplicadores ellik formam os elementos abaixo da diagonal de L (com 1 na diagonal) e os coeficientes remanescentes na matriz transformada tornam-se os elementos de U.

Passo 5

Resolução em duas etapas: primeiro resolve-se o sistema triangular inferior L y = b por substituição progressiva (“forward substitution”) para obter y.
Em seguida resolve-se o sistema triangular superior U x = y por substituição regressiva (“backward substitution”) para encontrar a solução x.

Passo 6

Observação sobre pivotamento: se surgir um pivô nulo ou muito pequeno durante a eliminação, realiza-se troca de linhas e introduz-se uma matriz de permutação P, obtendo-se P A = L U, mas a lógica de resolver L y = P b e depois U x = y permanece a mesma.

Resposta

O método LU consiste em decompor a matriz dos coeficientes em A = L U e em seguida resolver primeiro L y = b e depois U x = y para obter a solução do sistema.

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