Como funciona o Método da Decomposição/Fatoração LU para um sistema de equações lineares?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um sistema de equações lineares da forma
. O conteúdo aqui é a fatoração LU, que permite resolver o sistema em duas etapas triangulares mais simples usando o processo de eliminação de Gauss.
Passo 2
Objetivo da fatoração: encontrar matrizes
e
tais que
, onde
é triangular inferior com 1 na diagonal principal e
é triangular superior.
Passo 3
Aplicação da eliminação de Gauss: para cada passo
, computa-se o multiplicador
para
. Em seguida, subtrai-se
vezes a linha
da linha
. Esses
são armazenados como elementos de
.
Passo 4
Construção das matrizes
e
: ao final das eliminações, os multiplicadores
formam os elementos abaixo da diagonal de
(com 1 na diagonal) e os coeficientes remanescentes na matriz transformada tornam-se os elementos de
.
Passo 5
Resolução em duas etapas: primeiro resolve-se o sistema triangular inferior
por substituição progressiva (“forward substitution”) para obter
.
Em seguida resolve-se o sistema triangular superior por substituição regressiva (“backward substitution”) para encontrar a solução
.
Em seguida resolve-se o sistema triangular superior
Passo 6
Observação sobre pivotamento: se surgir um pivô nulo ou muito pequeno durante a eliminação, realiza-se troca de linhas e introduz-se uma matriz de permutação
, obtendo-se
, mas a lógica de resolver
e depois
permanece a mesma.
Resposta
O método LU consiste em decompor a matriz dos coeficientes em
e em seguida resolver primeiro
e depois
para obter a solução do sistema.