Como funciona os Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel para um sistema de equações lineares? Quais suas semelhanças e diferenças?

Passo 1

O enunciado pede para entender e comparar dois métodos iterativos para resolver sistemas lineares: o método de Jacobi e o de Gauss–Seidel. O conteúdo envolve a ideia de iteração fixa (splitting de matrizes) para aproximar a solução de um sistema Ax = b sem usar eliminação direta. Vamos precisar lembrar da decomposição de A em partes diagonais, estritamente inferiores e superiores.

Passo 2

No método de Jacobi a matriz A é decomposta como A = D + L + U, onde D é a matriz diagonal, L é a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior. A iteração de Jacobi vem de reorganizar Ax = b como Dx = b - (L + U)x, gerando a fórmula
x^(k+1) = D^-1l(b - (L+U)x^(k)r)
Ou seja, cada componente xi^(k+1) só usa valores de xj^(k) da mesma iteração anterior.

Passo 3

No método de Gauss–Seidel usamos outra decomposição: A = (D + L) + U. Reorganizando Ax = b
(D + L)x = b - Ux,
e a iteração é
x^(k+1) = (D + L)^-1l(b - Ux^(k)r)
Na prática, cada componente xi^(k+1) já usa os valores mais recentes de x1^(k+1),dots,xi-1^(k+1) e só recorre a xi+1^(k),dots da iteração anterior.

Passo 4

Ambos são métodos de ponto fixo baseados em splittings de A, exigem condições de convergência semelhantes (por exemplo, diagonal dominante ou espectro do iterador menor que 1) e produzem uma sequência x^(k) que converge para a solução exata quando as condições são atendidas.
A principal diferença é que Jacobi usa apenas valores da iteração anterior, facilitando paralelismo, mas tende a convergir mais devagar. Gauss–Seidel incorpora imediatamente os valores atualizados dentro da mesma iteração, acelerando a convergência em muitos casos, mas dificultando a paralelização.

Passo 5

Em resumo, Jacobi é mais simples e paralelo, mas mais lento; Gauss–Seidel é sucessivo (serial) e costuma convergir mais rápido sob mesmas condições.

Resposta

O método de Jacobi itera via x^(k+1)=D^-1(b-(L+U)x^(k)), usando apenas a iteração anterior, enquanto Gauss–Seidel faz x^(k+1)=(D+L)^-1(b-Ux^(k)), atualizando componentes à medida que avançam. Ambos são iterações de ponto fixo com condições de convergência similares (ex.: diagonal dominante), mas Jacobi é paralelo e mais lento, e Gauss–Seidel é serial e geralmente mais rápido.

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