Como funciona os Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel para um sistema de equações lineares? Quais suas semelhanças e diferenças?
Passo 1
O enunciado pede para entender e comparar dois métodos iterativos para resolver sistemas lineares: o método de Jacobi e o de Gauss–Seidel. O conteúdo envolve a ideia de iteração fixa (splitting de matrizes) para aproximar a solução de um sistema
sem usar eliminação direta. Vamos precisar lembrar da decomposição de
em partes diagonais, estritamente inferiores e superiores.
Passo 2
No método de Jacobi a matriz
é decomposta como
, onde
é a matriz diagonal,
é a parte estritamente inferior e
a parte estritamente superior. A iteração de Jacobi vem de reorganizar
como
, gerando a fórmula
Ou seja, cada componente
só usa valores de
da mesma iteração anterior.
Passo 3
No método de Gauss–Seidel usamos outra decomposição:
. Reorganizando
dá
e a iteração é
Na prática, cada componente
já usa os valores mais recentes de
e só recorre a
da iteração anterior.
Passo 4
Ambos são métodos de ponto fixo baseados em splittings de
, exigem condições de convergência semelhantes (por exemplo, diagonal dominante ou espectro do iterador menor que 1) e produzem uma sequência
que converge para a solução exata quando as condições são atendidas.
A principal diferença é que Jacobi usa apenas valores da iteração anterior, facilitando paralelismo, mas tende a convergir mais devagar. Gauss–Seidel incorpora imediatamente os valores atualizados dentro da mesma iteração, acelerando a convergência em muitos casos, mas dificultando a paralelização.
Passo 5
Em resumo, Jacobi é mais simples e paralelo, mas mais lento; Gauss–Seidel é sucessivo (serial) e costuma convergir mais rápido sob mesmas condições.
Resposta
O método de Jacobi itera via
, usando apenas a iteração anterior, enquanto Gauss–Seidel faz
, atualizando componentes à medida que avançam. Ambos são iterações de ponto fixo com condições de convergência similares (ex.: diagonal dominante), mas Jacobi é paralelo e mais lento, e Gauss–Seidel é serial e geralmente mais rápido.