Usando a fórmula de Lagrange, provar que, se
,
, então
Passo 1
Vamos usar a ideia da fórmula de Lagrange para construir a expansão em frações parciais de
, onde
.
Passo 2
Definimos
que é um polinômio de grau
. Pela fórmula de Lagrange para frações parciais, temos
pois cada termo de fração parcial em
tem coeficiente
.
Passo 3
Calculamos agora a derivada de
em
. Como
então
pois são
fatores negativos se
e
fatores negativos se
.
Passo 4
Substituindo
na expansão, obtemos
Agora reconhecemos
. Logo,
Passo 5
Escolhemos
com
. Então
Mas
portanto
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
. No lado esquerdo surge exatamente a soma que queremos provar, e no direito:
Passo 7
Assim mostramos que
como desejado.