Usando a fórmula de Lagrange, provar que, se m, n in N, m>n >= 0, então
sumk=0^n(-1)^n-kbinommnbinomnk 1m-k=1m-n

Passo 1

Vamos usar a ideia da fórmula de Lagrange para construir a expansão em frações parciais de 1/R(x), onde R(x) = x(x-1)cdots(x-n).

Passo 2

Definimos
R(x)=x(x-1)(x-2)cdots(x-n)
que é um polinômio de grau n+1. Pela fórmula de Lagrange para frações parciais, temos
1R(x)=sumk=0^n1R'(k)cdot1x-k
pois cada termo de fração parcial em x=k tem coeficiente 1/R'(k).

Passo 3

Calculamos agora a derivada de R(x) em x=k. Como
R(x)=prodj=0^n(x-j)
então
R'(k)=prodsubstackj=0 jneq k^n(k-j) =(-1)^n-kk!,(n-k)!
pois são k fatores negativos se j e n-k fatores negativos se j>k.

Passo 4

Substituindo R'(k) na expansão, obtemos
1R(x)=sumk=0^n(-1)^n-k1k!,(n-k)!;1x-k
Agora reconhecemos tfrac1k!,(n-k)!=tfrac1n!binom nk. Logo,
1R(x)=1n!sumk=0^n(-1)^n-kbinom nk;1x-k .

Passo 5

Escolhemos x=m com m>n. Então
sumk=0^n(-1)^n-kbinom nk;1m-k=n!;1m(m-1)cdots(m-n)
Mas
m(m-1)cdots(m-n)=m!(m-n-1)!
portanto
sumk=0^n(-1)^n-kbinom nk;1m-k=n!,(m-n-1)!m! .

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por binom m n=tfracm!n!,(m-n)!. No lado esquerdo surge exatamente a soma que queremos provar, e no direito:
binom mn;n!,(m-n-1)!m!=m!n!,(m-n)!;n!,(m-n-1)!m!=(m-n-1)!(m-n)!=1m-n .

Passo 7

Assim mostramos que
sumk=0^n(-1)^n-kbinom m nbinom nk;1m-k=1m-n
como desejado.

Resposta

1m-n

Exercícios relacionados