Deduza a fórmula do método da posição falsa usando semelhança de triângulos.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula do método da posição falsa (regula falsi) usando semelhança de triângulos. O assunto é métodos de posição para achar raízes de funções, e vamos precisar do conceito de semelhança de triângulos aplicado ao gráfico de uma função contínua em dois pontos.

Passo 2

Imagine uma função contínua f(x) com sinais opostos em x=a e x=b, ou seja, f(a)f(b)<0. No método da posição falsa, aproximamos a raiz por um ponto c em que a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) cruza o eixo x.
No plano cartesiano, desenhe o triângulo formado pelo segmento de base entre x=a e x=b e altura |f(b)|, e outro triângulo menor formado pela base entre x=c e x=b e altura |f(b)|. Esses dois triângulos são semelhantes, pois compartilham ângulos iguais: ângulo em (b,f(b)) e ângulo reto no eixo $x.

Passo 3

Pela semelhança de triângulos, a razão entre as bases é igual à razão entre as alturas. Se a base grande é |b-a| e a pequena é |b-c|, e as alturas são |f(b)-0|=|f(b)| e |f(b)-f(a)|, temos a proporção
b-cb-a=0 - f(b)f(a)-f(b)
Observe que usamos sinais para manter a proporção correta.

Passo 4

Resolvendo a proporção para c, multiplicamos em cruz:
(b-c)l(f(a)-f(b)r)=(b-a)l(-f(b)r)
Distribuindo e isolando c, chegamos a
c = b - f(b)b-af(b)-f(a)
A forma equivalente, reunindo numerador e denominador, fica:
c = a,f(b) - b,f(a)f(b)-f(a)
Esse c é a nova aproximação da raiz no método da posição falsa.

Resposta

c = b - f(b)b - af(b) - f(a) = a,f(b) - b,f(a)f(b)-f(a)

Exercícios relacionados