Deduza a fórmula do método da posição falsa usando semelhança de triângulos.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula do método da posição falsa (regula falsi) usando semelhança de triângulos. O assunto é métodos de posição para achar raízes de funções, e vamos precisar do conceito de semelhança de triângulos aplicado ao gráfico de uma função contínua em dois pontos.
Passo 2
Imagine uma função contínua
com sinais opostos em
e
, ou seja,
. No método da posição falsa, aproximamos a raiz por um ponto
em que a reta que passa por
e
cruza o eixo
.
No plano cartesiano, desenhe o triângulo formado pelo segmento de base entre
e
e altura
, e outro triângulo menor formado pela base entre
e
e altura
. Esses dois triângulos são semelhantes, pois compartilham ângulos iguais: ângulo em
e ângulo reto no eixo $x.
Passo 3
Pela semelhança de triângulos, a razão entre as bases é igual à razão entre as alturas. Se a base grande é
e a pequena é
, e as alturas são
e
, temos a proporção
Observe que usamos sinais para manter a proporção correta.
Passo 4
Resolvendo a proporção para
, multiplicamos em cruz:
Distribuindo e isolando
, chegamos a
A forma equivalente, reunindo numerador e denominador, fica:
Esse
é a nova aproximação da raiz no método da posição falsa.