Deduza a transformada de Fourier da função ímpar
f(t)=\left\{\begin{array}{l} e^{-t} u(t) \\\\ -e^{t} u(-t) \end{array}\right.
e verifique as propriedades das funções ímpares e reais da transformada de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função ímpar e real
f(t)=\begin{cases} e^{-t}u(t),&t\ge0,\\\\ -\,e^{t}u(-t),&t<0, \end{cases}
onde u(t) é o degrau de Heaviside.
Conteúdo: transformada de Fourier de função em partes e propriedades de simetria (ímpar/real no tempo versus no espectro).

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada de Fourier
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-j\omega t}\,dt
e separamos em dois integrais, um de 0 a \infty e outro de -\infty a 0:
F(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-t}\,e^{-j\omega t}\,dt \;-\;\int_{-\infty}^{0}e^{t}\,e^{-j\omega t}\,dt.

Passo 3

Calculamos cada integral usando \int_{0}^{\infty}e^{-at}dt=1/a para \Re(a)>0 e \int_{-\infty}^{0}e^{bt}dt=1/(-b) para \Re(b)<0:
\int_{0}^{\infty}e^{-t(1+j\omega)}dt=\frac{1}{1+j\omega}, \qquad \int_{-\infty}^{0}e^{t(1-j\omega)}dt=\frac{1}{1-j\omega}.

Passo 4

Substituindo e lembrando do sinal menos no segundo termo, obtemos
F(\omega) =\frac{1}{1+j\omega} \;-\;\frac{1}{1-j\omega} =\frac{(1-j\omega)-(1+j\omega)}{(1+j\omega)(1-j\omega)} =-\frac{2\,j\omega}{1+\omega^2}.

Passo 5

Logo a transformada de Fourier é
F(\omega)=-\frac{2\,j\omega}{1+\omega^2}.
Note que F(\omega) é puramente imaginária e satisfaz
F(-\omega) =-\frac{2\,j(-\omega)}{1+\omega^2} =\frac{2\,j\omega}{1+\omega^2} =-F(\omega),
isto é, F(\omega) é ímpar em \omega.

Passo 6

Como f(t) é real, vale também a condição de conjugação de Hermite
F(-\omega)=F^*(\omega).
De fato, F^*(\omega)=\bigl(-2\,j\omega/(1+\omega^2)\bigr)^* =2\,j\omega/(1+\omega^2)=F(-\omega).
Isso confirma que para f(t) real e ímpar a transformada é imaginária e ímpar.

Resposta

\boxed{F(\omega)=-\frac{2\,j\omega}{1+\omega^2},}
que é função imaginária ímpar e satisfaz F(-\omega)=F^*(\omega).

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