Encontre a transformada de Fourier da seguinte função e esboce seu espectro de amplitude e fase:
f(t)=e^{-|t|} \cos \omega_{0} t

Passo 1

O enunciado quer a transformada de Fourier de
f(t)=e^{-|t|}\cos\omega_{0}t
e seus espectros de amplitude e fase. Vamos usar que a transformada de \displaystyle e^{-|t|}
é conhecida e aplicar a modulação de frequência causada pelo cosseno.

Passo 2

Escrevemos o cosseno em termos de exponenciais complexas:
\cos\omega_{0}t = \frac{e^{j\omega_{0}t} + e^{-j\omega_{0}t}}{2}.
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f(t) = e^{-|t|}\cos\omega_{0}t = \frac{1}{2}\,e^{-|t|}e^{j\omega_{0}t} + \frac{1}{2}\,e^{-|t|}e^{-j\omega_{0}t}.

Passo 3

Recordamos a transformada de Fourier
\mathcal{F}\{e^{-|t|}\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t|}e^{-j\omega t}\,dt = \frac{2}{1+\omega^{2}}.

Passo 4

Pela propriedade de deslocamento em frequência, \mathcal{F}\{e^{-|t|}e^{\pm j\omega_{0}t}\}(\omega) = \displaystyle \frac{2}{1+(\omega\mp\omega_{0})^{2}}.
Assim
F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \frac{1}{2}\,\frac{2}{1+(\omega-\omega_{0})^{2}} + \frac{1}{2}\,\frac{2}{1+(\omega+\omega_{0})^{2}}.

Passo 5

Simplificando, obtemos
F(\omega) = \frac{1}{1+(\omega-\omega_{0})^{2}} + \frac{1}{1+(\omega+\omega_{0})^{2}}.

Passo 6

Como cada termo é real e positivo para todo \omega, o espectro F(\omega) é real e par, logo sua fase é zero em toda parte. O espectro de amplitude é justamente
|F(\omega)| = \frac{1}{1+(\omega-\omega_{0})^{2}} + \frac{1}{1+(\omega+\omega_{0})^{2}},
que apresenta dois picos em \omega=+\omega_{0} e \omega=-\omega_{0}, cada um com largura determinada pela constante 1.

Resposta

F(\omega) = \frac{1}{1+(\omega-\omega_{0})^{2}} + \frac{1}{1+(\omega+\omega_{0})^{2}},
espectro de amplitude
|F(\omega)| = \frac{1}{1+(\omega-\omega_{0})^{2}} + \frac{1}{1+(\omega+\omega_{0})^{2}},
e espectro de fase \displaystyle \angle F(\omega)=0.

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