Determine a representação SFTD do sinal { }^{\sim} x[n]=1+\cos (0,24 \pi n)+3 \operatorname{sen}(0,56 \pi n). Esboce o espectro SFTD.

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT ou SFTD) do sinal \r \tilde x[n]=1+\cos(0,24\pi n)+3\operatorname{sen}(0,56\pi n). \r
Para isso precisamos lembrar que, para sinais infinitos em n, a DTFT é uma soma de deltas periódica de período 2\pi em \Omega. Vamos usar:\r
  1. A DTFT de 1 é \r
\sum_{n=-\infty}^{\infty}1\;e^{-j\Omega n}=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-2\pi k)\,.\r
  1. As fórmulas de Euler para cosseno e seno: \r \displaystyle \cos(\omega_0 n)=\tfrac12\bigl(e^{j\omega_0n}+e^{-j\omega_0n}\bigr) e \r \displaystyle \operatorname{sen}(\omega_0 n)=\tfrac1{2j}\bigl(e^{j\omega_0n}-e^{-j\omega_0n}\bigr). \r
  2. A DTFT de e^{\pm j\omega_0n} é 2\pi\sum_k\delta(\Omega\mp\omega_0-2\pi k).

Passo 2

Transformada do termo constante 1: \r
X_1(e^{j\Omega})=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-2\pi k)\,.

Passo 3

Transformada de \cos(0,24\pi n). Usando \r \cos(0,24\pi n)=\tfrac12(e^{j0,24\pi n}+e^{-j0,24\pi n}), \r
cada exponencial gera um pico em \Omega=\pm0,24\pi: \r
X_2(e^{j\Omega}) =\tfrac12\cdot2\pi\sum_k\delta(\Omega-0,24\pi-2\pi k) +\tfrac12\cdot2\pi\sum_k\delta(\Omega+0,24\pi-2\pi k) \;\stackrel{\text{num. per}}\to\; \pi\bigl[\delta(\Omega-0,24\pi)+\delta(\Omega+0,24\pi)\bigr].

Passo 4

Transformada de 3\operatorname{sen}(0,56\pi n). Com \r \operatorname{sen}(0,56\pi n)=\tfrac1{2j}(e^{j0,56\pi n}-e^{-j0,56\pi n}), temos \r
3\operatorname{sen}(0,56\pi n) =\frac{3}{2j}e^{j0,56\pi n}-\frac{3}{2j}e^{-j0,56\pi n}\,.\r
Logo, cada exponencial gera um pico: \r
X_3(e^{j\Omega}) =\frac{3}{2j}2\pi\sum_k\delta(\Omega-0,56\pi-2\pi k) -\frac{3}{2j}2\pi\sum_k\delta(\Omega+0,56\pi-2\pi k).\r
Como 1/j=-j, isso vira, no intervalo fundamental (-\pi,\pi]: \r
X_3(e^{j\Omega}) =\frac{3\pi}{j}\bigl[\delta(\Omega-0,56\pi)-\delta(\Omega+0,56\pi)\bigr] =-3\pi j\,\delta(\Omega-0,56\pi)+3\pi j\,\delta(\Omega+0,56\pi)\,.

Passo 5

Somando os três termos, a DTFT completa fica\r
X(e^{j\Omega}) =2\pi\sum_{k}\delta(\Omega-2\pi k) +\pi\bigl[\delta(\Omega-0,24\pi)+\delta(\Omega+0,24\pi)\bigr] +\frac{3\pi}{j}\bigl[\delta(\Omega-0,56\pi)-\delta(\Omega+0,56\pi)\bigr].\r
Dentro de um período (-\pi,\pi] podemos anotar apenas os deltas em \Omega=0,\pm0{,}24\pi,\pm0{,}56\pi.

Resposta

A representação SFTD é\r
X(e^{j\Omega}) =2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-2\pi k) +\pi\bigl[\delta(\Omega-0,24\pi)+\delta(\Omega+0,24\pi)\bigr] +\frac{3\pi}{j}\bigl[\delta(\Omega-0,56\pi)-\delta(\Omega+0,56\pi)\bigr].\r
\r
Esboço do espectro (num único período -\pi\le\Omega\le\pi):\r
\r
• Pico em \Omega=0 de altura 2\pi. \r
• Dois picos reais em \Omega=\pm0,24\pi de amplitude \pi. \r
• Dois picos imaginários em \Omega=\pm0,56\pi, sendo X\bigl(e^{j0,56\pi}\bigr)=-3\pi j e X\bigl(e^{-j0,56\pi}\bigr)=+3\pi j.

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