Sejam
e
ambos periódicos com período
. Usando a definição de convolução periódica dada pela Eq. (5.45), mostre que o sinal
também é periódico com período
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são ambas periódicas de período
, ou seja, para todo inteiro
Queremos mostrar que
também satisfaz
. Vamos usar a definição de convolução periódica de período
.
Passo 2
Pela Eq. (5.45), a convolução periódica de
e
é
onde, por convenção, todos os índices na soma são tomados módulo
. Isso significa que, sempre que o argumento de
sair do intervalo
, ele é reduzido módulo
, mas como
já é periódico de período
, podemos simplesmente usar o argumento direto.
Passo 3
Agora calculamos
trocando
por
na definição:
Passo 4
Como
tem período
, vale
Substituindo na soma de
obtemos
Resposta
Portanto,
satisfaz
para todo
, ou seja,
é periódico com período
.