Sejam { }^{\sim} x[n] e { }^{\sim} h[n] ambos periódicos com período N. Usando a definição de convolução periódica dada pela Eq. (5.45), mostre que o sinal
{ }^{\sim} \mathrm{y}[\mathrm{n}]={ }^{\sim} \mathrm{x}[\mathrm{n}] \otimes{ }^{\sim} \mathrm{h}[\mathrm{n}]
também é periódico com período N.

Passo 1

O enunciado diz que \tilde x[n] e \tilde h[n] são ambas periódicas de período N, ou seja, para todo inteiro n
\tilde x[n+N]=\tilde x[n] \quad\text{e}\quad \tilde h[n+N]=\tilde h[n].
Queremos mostrar que
\tilde y[n]=\tilde x[n]\otimes \tilde h[n]
também satisfaz \tilde y[n+N]=\tilde y[n]. Vamos usar a definição de convolução periódica de período N.

Passo 2

Pela Eq. (5.45), a convolução periódica de \tilde x e \tilde h é
\tilde y[n] = \sum_{m=0}^{N-1}\tilde x[m]\;\tilde h[n-m]
onde, por convenção, todos os índices na soma são tomados módulo N. Isso significa que, sempre que o argumento de \tilde h sair do intervalo \{0,1,\dots,N-1\}, ele é reduzido módulo N, mas como \tilde h já é periódico de período N, podemos simplesmente usar o argumento direto.

Passo 3

Agora calculamos \tilde y[n+N] trocando n por n+N na definição:
\tilde y[n+N] = \sum_{m=0}^{N-1}\tilde x[m]\;\tilde h\bigl[(n+N)-m\bigr].

Passo 4

Como \tilde h tem período N, vale
\tilde h\bigl[n+N-m\bigr] = \tilde h\bigl[(n-m)+N\bigr] = \tilde h[n-m].
Substituindo na soma de \tilde y[n+N] obtemos
\tilde y[n+N] = \sum_{m=0}^{N-1}\tilde x[m]\;\tilde h[n-m] = \tilde y[n].

Resposta

Portanto, \tilde y[n] satisfaz \tilde y[n+N]=\tilde y[n] para todo n, ou seja, \tilde y[n] é periódico com período N.

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