Determine a transformada de Fourier da seguinte função e forneça o valor de |F(\omega)| quando \omega \rightarrow \infty.
a. f(t)=p_{0.5}(t)+\delta(t+1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=p_{0.5}(t)+\delta(t+1)
e o valor de \lvert F(\omega)\rvert quando \omega\rightarrow\infty. Aqui vamos usar a linearidade da transformada de Fourier e a transformada conhecida do impulso de Dirac, além de calcular a integral para o pulso retangular.

Passo 2

Pela linearidade,
F(\omega)=\mathcal{F}\{p_{0.5}(t)\}+\mathcal{F}\{\delta(t+1)\}.
Sabemos que
\mathcal{F}\{\delta(t+1)\} =\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t+1)\,e^{-j\omega t}\,dt =e^{-j\omega(-1)} =e^{j\omega}.

Passo 3

Definimos p_{0.5}(t) como o pulso retangular de amplitude 1 e largura 0,5 centrado em zero, ou seja,
p_{0.5}(t)= \begin{cases} 1,&|t|<0{,}25,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
Então
P_{0.5}(\omega) =\int_{-0,25}^{0,25}e^{-j\omega t}\,dt =\frac{e^{-j\omega(0,25)}-e^{j\omega(0,25)}}{-j\omega} =\frac{2\sin\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr)}{\omega}.

Passo 4

Somando os termos, obtemos
F(\omega) =\frac{2\sin\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr)}{\omega} +e^{j\omega}.

Passo 5

Para \omega\to\infty, o termo \tfrac{2\sin(\omega/4)}{\omega} tende a 0 e |e^{j\omega}|=1. Logo,
\lim_{\omega\to\infty}\bigl\lvert F(\omega)\bigr\rvert =1.

Resposta

F(\omega) =\frac{2\sin\bigl(\tfrac{\omega}{4}\bigr)}{\omega} +e^{j\omega}, \quad \lim_{\omega\to\infty}\lvert F(\omega)\rvert =1.

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