Para deduzir a regra de Simpson Repetida, obtendo uma aproximação da integral de f(x) no intervalo [a, b], nós dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos do tipo \left[x_{i-1}, x_{i}\right], com i=1,2, \ldots, n. Neste caso podemos dizer que
Escolha uma opção:
a. n=2 k, onde k é um inteiro positivo
b. n=2 k, onde k é um número inteiro qualquer
c. n=2 k+1, onde k é um inteiro positivo
d. n=4 k, onde k é um número inteiro
e. n pode ser qualquer número inteiro positivo

Passo 1

O enunciado pede a dedução da regra de Simpson repetida (composta) para aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x
dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais \bigl[x_{i-1},x_i\bigr]. O conteúdo é integração numérica pelo método de Simpson composto, que aplica a regra de Simpson em pares de subintervalos.

Passo 2

A regra de Simpson original aproxima a integral em dois subintervalos de uma só vez (isto é, em três pontos). Para estender isso de forma composta, agrupamos os n subintervalos em pares, logo n deve ser par. Se chamarmos de k o número de pares, temos
n = 2\,k,
e como queremos pelo menos um par de subintervalos, k deve ser um inteiro positivo.

Resposta

a. n=2k, onde k é um inteiro positivo.

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