Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1 / 3 de Simpson Repetida de modo a garantir que o valor 0,39+1
aproximado de I=\int_{0,39} e^{x^{2}} d x terá erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I no campo abaixo.
Resposta: \square

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos aproximar
I = \int_{0}^{0.39} e^{x^{2}} \, dx
pela regra composta de Simpson 1/3 com n subintervalos ( n par) de modo que o erro seja inferior a 0,01. Para isso usamos o limite de erro
\bigl|E_S\bigr|\le \frac{b - a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|,
onde h=(b-a)/n.

Passo 2

Calculamos f(x)=e^{x^{2}} e suas derivadas até a quarta ordem:
f^{(4)}(x)=e^{x^{2}}\bigl(12+48x^{2}+16x^{4}\bigr).
No intervalo [0,0.39] o máximo ocorre em x=0.39, daí
\max|f^{(4)}(x)|\approx e^{0.39^{2}}\bigl(12+48\cdot0.39^{2}+16\cdot0.39^{4}\bigr)\approx22.9.
Logo o erro satisfaz
\bigl|E_S\bigr|\le\frac{0.39}{180}\,\frac{(0.39)^{4}}{n^{4}}\,(22.9) \approx\frac{0.001148}{n^{4}}<0.01.

Passo 3

Resolvendo
\frac{0.001148}{n^{4}}<0.01 \quad\Longrightarrow\quad n^{4}>0.1148 \quad\Longrightarrow\quad n>0.58,
e como n deve ser par e inteiro, o menor valor possível é n=2.

Passo 4

Com n=2 temos h=0.39/2=0.195 e os nós \,x_0=0,\;x_1=0.195,\;x_2=0.39.
Calculamos
f(x_0)=e^{0}=1,\quad f(x_1)=e^{0.195^{2}}\approx1.03876,\quad f(x_2)=e^{0.39^{2}}\approx1.16438.
A regra de Simpson dá
I\approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr) = \frac{0.195}{3}(1 +4\cdot1.03876 +1.16438) \approx0.4113.

Resposta

0,4113

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