Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integraçäo) o menor valor possível para aplicar a regra 1/3 de simpson repetida de modo a obter uma aproximação de I=\int_{0,39}^{0,39+1} e^{x^{2}} \mathrm{dx} com um erro inferior a 0,01 . Coloque o valor aproximado I.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{0{,}39}^{0{,}39+1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x
usando a regra composta de Simpson \tfrac{1}{3} de modo que o erro seja menor que 0{,}01. Precisamos
  1. Estimar um valor máximo M de \bigl|f^{(4)}(x)\bigr| em [0{,}39,1{,}39].
  2. Usar o limite de erro de Simpson
\bigl|E_S\bigr| \le \frac{b - a}{180}\,h^4\,M
com h=(b-a)/n e achar o menor n par que satisfaça \bigl|E_S\bigr|<0{,}01.
3. Com esse n, aplicar a fórmula composta e calcular a aproximação \displaystyle I.

Passo 2

Calculamos as derivadas até a quarta de f(x)=e^{x^2}. O resultado é
f^{(4)}(x) \;=\;\bigl(12 + 48x^2 + 16x^4\bigr)\,e^{x^2}.
Como x\in[0{,}39,1{,}39], f^{(4)}(x) cresce em x e seu máximo ocorre em x=1{,}39.
Calculando aproximadamente
M = f^{(4)}(1{,}39)\approx (12+48\cdot1{,}39^2+16\cdot1{,}39^4)\,e^{1{,}39^2}\approx1135.
O erro composto de Simpson satisfaz
\bigl|E_S\bigr|\le\frac{1}{180}\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)^4 M =\frac{M}{180\,n^4}.

Passo 3

Queremos \dfrac{M}{180\,n^4}<0{,}01, ou seja
n^4 > \frac{M}{1{,}8}\approx\frac{1135}{1{,}8}\approx630{,}6 \quad\Longrightarrow\quad n>\sqrt[4]{630{,}6}\approx5{,}01.
Como n deve ser par, o menor n que funciona é n=6.

Passo 4

Com n=6 temos h=\tfrac{1}{6}. Os nós são
x_i = 0{,}39 + i\,h,\quad i=0,\dots,6,
e f_i = e^{x_i^2}. Calculando numericamente:
\begin{aligned} &x_0=0{,}39,\;f_0\approx1{,}1642,\quad x_1\approx0{,}5567,\;f_1\approx1{,}3629,\\\ &x_2\approx0{,}7233,\;f_2\approx1{,}6874,\quad x_3=0{,}89,\;f_3\approx2{,}2076,\\\ &x_4\approx1{,}0567,\;f_4\approx3{,}0548,\quad x_5\approx1{,}2233,\;f_5\approx4{,}4664,\\\ &x_6=1{,}39,\;f_6\approx6{,}9035. \end{aligned}
A regra composta de Simpson dá
I\approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0 + 4(f_1+f_3+f_5) + 2(f_2+f_4) + f_6\Bigr] =\frac{1/6}{3}\cdot 49{,}6997\approx2{,}7611.

Resposta

O menor número de subintervalos é n=6 e a aproximação obtida é
I \approx 2{,}7611.

Exercícios relacionados