Seja o seguinte conjunto de dados:
c|c|c|c|c|c $x$ & 1 & 2 & 4 & 5 & 7 hline$y$ & 52 & 5 & -5 & -40 & 10 1 2 4 5 7
52 5 -5 -40 10
© Determine o polinômio de quarta ordem na forma de Newton que passe pelos cinco pontos. Calcule os coeficientes usando uma tabela de diferenças divididas.

Passo 1

Então, a gente tem cinco pontos
(x0,y0)=(1,52),;(x1,y1)=(2,5),;(x2,y2)=(4,-5),;(x3,y3)=(5,-40),;(x4,y4)=(7,10)
e quer achar o polinômio de grau 4 na forma de Newton, usando a tabela de diferenças divididas.
Conteúdo: diferenças divididas e forma de Newton.
Vamos precisar:
  • Entender como montar a tabela.
  • Saber que o polinômio fica P4(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+cdots

Passo 2

Primeiro, escrevemos a coluna de ordem zero, que é só f[xi]=yi:
c|c xi & f[xi] hline 1 & 52 2 & 5 4 & -5 5 & -40 7 & 10

Passo 3

Agora a gente calcula as diferenças divididas de primeira ordem, usando
f[xi,xi+1] = f[xi+1]-f[xi]xi+1-xi
Fica:
f[x0,x1]&=5-522-1=-47, f[x1,x2]&=-5-54-2=-5, f[x2,x3]&=-40-(-5)5-4=-35, f[x3,x4]&=10-(-40)7-5=25

Passo 4

Para as diferenças de segunda ordem, usamos
f[xi,xi+1,xi+2] =f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1]xi+2-xi
Calculando:
f[x0,x1,x2]&=-5-(-47)4-1=423=14, f[x1,x2,x3]&=-35-(-5)5-2=-303=-10, f[x2,x3,x4]&=25-(-35)7-4=603=20

Passo 5

Diferenças de terceira ordem, com a mesma ideia:
f[xi,dots,xi+3] =f[xi+1,dots,xi+3]-f[xi,dots,xi+2]xi+3-xi
Fica:
f[x0,x1,x2,x3]&=-10-145-1=-244=-6, f[x1,x2,x3,x4]&=20-(-10)7-2=305=6

Passo 6

Finalmente a diferença dividida de quarta ordem:
f[x0,dots,x4] =f[x1,dots,x4]-f[x0,dots,x3]x4-x0 =6-(-6)7-1=126=2

Passo 7

Agora montamos o polinômio de Newton usando os coeficientes que encontramos:
P4(x)&=f[x0] +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) &+f[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2) &+f[x0,x1,x2,x3,x4],(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Substituindo x0=1 e cada coeficiente:
P4(x) =52 -47,(x-1) +14,(x-1)(x-2) -6,(x-1)(x-2)(x-4) +2,(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)

Resposta

O polinômio de quarta ordem na forma de Newton que passa pelos cinco pontos é
boxed P4(x) =52 -47(x-1) +14(x-1)(x-2) -6(x-1)(x-2)(x-4) +2(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)

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