Questão 3 - Utilizando o método de eliminação de Gauss, resolva os sistemas lineares a seguir.
l3 x1+2 x2+x4=7 9 x1+8 x2-3 x3+4 x4=6 -6 x1+4 x2-8 x3=-16 3 x1-8 x2+3 x3-4 x4=18

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é resolver um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas usando eliminação de Gauss. O conteúdo é Álgebra Linear e vamos precisar entender como montar a matriz aumentada, escolher pivôs (o elemento principal de cada linha), e fazer operações de linha (somar múltiplos de uma linha em outra) para zerar célula por célula até chegar numa forma triangular. Depois a gente faz a “retrosubstituição” para achar .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada 3 & 2 & 0 & 1 &|& 7 9 & 8 & -3 & 4 &|& 6 -6 & 4 & -8 & 0 &|& -16 3 & -8 & 3 & -4 &|& 18 do sistema
3 & 2 & 0 & 1 &|& 7 0 & 2 & -3 & 1 &|& -15 0 & 8 & -8 & 2 &|& -2 0 & -10 & 3 & -5 &|& 11
O pivô da primeira linha é . Queremos zerar as entradas abaixo dele na coluna 1:
  • Linha 2 Linha 2 Linha 1
  • Linha 3 Linha 3 Linha 1
  • Linha 4 Linha 4 Linha 1
Fazendo isso, obtemos:

Passo 3

Agora o pivô da segunda linha é 3 & 2 & 0 & 1 &|& 7 0 & 2 & -3 & 1 &|& -15 0 & 0 & 4 & -2 &|& 58 0 & 0 & -12 & 0 &|& -64 (coluna 2). Vamos zerar embaixo:
  • Linha 3 Linha 3 Linha 2
  • Linha 4 Linha 4 Linha 2
Resultado:

Passo 4

Pivô da terceira linha é 3 & 2 & 0 & 1 &|& 7 0 & 2 & -3 & 1 &|& -15 0 & 0 & 4 & -2 &|& 58 0 & 0 & 0 & -6 &|& 110 (coluna 3). Zeramos na linha 4:
  • Linha 4 Linha 4 Linha 3
Agora a matriz fica
Que já está em forma triangular superior.

Passo 5

Chegamos na última linha, cujo pivô é -6,x4 = 110 Longrightarrow x4 = 110-6 = -553 (coluna 4). Daí tiramos:

Passo 6

Agora retro-substituímos na terceira linha:
4,x3 -2,x4 = 58 Longrightarrow 4,x3 -2l(-553r)=58 Longrightarrow 4,x3 + 1103 = 58
Multiplicando por 3:
12,x3 + 110 = 174 Longrightarrow 12,x3 = 64 Longrightarrow x3 = 6412 = 163

Passo 7

Na segunda linha:
2,x2 -3,x3 + x4 = -15 Longrightarrow 2,x2 -3l(tfrac163r) + l(-tfrac553r) = -15
Note que 2,x2 -16 - 553 = -15 Longrightarrow 2,x2 - 1033 = -15 . Então:
6,x2 -103 = -45 Longrightarrow 6,x2 = 58 Longrightarrow x2 = 586 = 293
Multiplicando por 3:

Passo 8

Finalmente, na primeira linha:
3,x1 + 2,x2 + x4 = 7 Longrightarrow 3,x1 + 2l(tfrac293r) + l(-tfrac553r) = 7
Repare que 3,x1 + 583 - 553 = 7 Longrightarrow 3,x1 + 1 = 7 Longrightarrow 3,x1 = 6 Longrightarrow x1 = 2 , então

Resposta

boxedx1 = 2, x2 = tfrac293, x3 = tfrac163, x4 = -tfrac553

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