Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f(t) \cos \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2}\left[F\left(\omega+\omega_{0}\right)+F\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]
\mathcal{F}\left{f(t) \cos \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2}\left[F\left(\omega+\omega_{0}\right)+F\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a propriedade de modulação da transformada de Fourier, a saber
O que precisamos é da definição da transformada de Fourier e da identidade de Euler para o cosseno.
Passo 2
Usamos a identidade de Euler para expressar o cosseno como soma de exponenciais complexas:
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Passo 3
Aplicamos a linearidade da transformada de Fourier, cuja definição é
Para o primeiro termo temos
De modo análogo, para o segundo termo
Passo 4
Somando as duas contribuições e lembrando do fator
, obtemos