Demonstre as seguintes propriedades das transformadas de Fourier:
\mathcal{F}\left{f(t) \cos \omega_{0} t\right}=\frac{1}{2}\left[F\left(\omega+\omega_{0}\right)+F\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade de modulação da transformada de Fourier, a saber
\mathcal{F}\{f(t)\cos(\omega_{0}t)\} =\frac{1}{2}\bigl[F(\omega+\omega_{0})+F(\omega-\omega_{0})\bigr].
O que precisamos é da definição da transformada de Fourier e da identidade de Euler para o cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade de Euler para expressar o cosseno como soma de exponenciais complexas:
\cos(\omega_{0}t) =\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}.
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f(t)\cos(\omega_{0}t) =\frac{1}{2}\,f(t)e^{j\omega_{0}t} +\frac{1}{2}\,f(t)e^{-j\omega_{0}t}.

Passo 3

Aplicamos a linearidade da transformada de Fourier, cuja definição é
\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t.
Para o primeiro termo temos
\mathcal{F}\{f(t)e^{j\omega_{0}t}\} =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega_{0}t}e^{-j\omega t}\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j(\omega-\omega_{0})t}\,\mathrm{d}t =F(\omega-\omega_{0}).
De modo análogo, para o segundo termo
\mathcal{F}\{f(t)e^{-j\omega_{0}t}\} =F(\omega+\omega_{0}).

Passo 4

Somando as duas contribuições e lembrando do fator 1/2, obtemos
\mathcal{F}\{f(t)\cos(\omega_{0}t)\} =\frac{1}{2}\,F(\omega-\omega_{0}) +\frac{1}{2}\,F(\omega+\omega_{0}) =\frac{1}{2}\bigl[F(\omega+\omega_{0})+F(\omega-\omega_{0})\bigr].

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{f(t)\cos(\omega_{0}t)\} =\frac{1}{2}\bigl[F(\omega+\omega_{0})+F(\omega-\omega_{0})\bigr].

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