Encontre a transformada de Fourier da seguinte função:
f(t)=\sin (a t) / t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)=\frac{\sin(at)}{t}
usando a convenção
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
O conteúdo necessário é a representação de \sin(at) em termos de exponenciais e o cálculo da integral principal \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\beta t}/t\,dt.

Passo 2

Escrevemos \sin(at) pela fórmula de Euler:
\sin(at)=\frac{e^{i a t}-e^{-i a t}}{2i}.
Logo
f(t)=\frac{\sin(at)}{t} =\frac{1}{2i}\,\frac{e^{i a t}-e^{-i a t}}{t}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt
temos
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{2i}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a t}-e^{-i a t}}{t}\;e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{2i}\Bigl(I_1 - I_2\Bigr),
onde
I_1=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i(a-\omega)t}}{t}\,dt, \quad I_2=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i(a+\omega)t}}{t}\,dt.

Passo 4

Usamos a fórmula principal de transformadas de tipo \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\beta t}/t\,dt = i\pi\,\sgn(\beta).
Portanto
I_1 = i\pi\,\sgn(a-\omega), \quad I_2 = i\pi\,\sgn\bigl(-(\!a+\omega)\bigr) = -\,i\pi\,\sgn(a+\omega).

Passo 5

Substituindo em \displaystyle \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\frac{1}{2i}(I_1-I_2)\) obtém-se \[\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\frac{1}{2i}\Bigl(i\pi\,\sgn(a-\omega)+i\pi\,\sgn(a+\omega)\Bigr) =\frac{\pi}{2}\Bigl[\sgn(a-\omega)+\sgn(a+\omega)\Bigr].
Mas
\sgn(a-\omega)+\sgn(a+\omega) =\begin{cases} 2,&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a, \end{cases}
(com valor intermediário \sgn(0)=0\] se \(|\omega|=a). Logo
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\begin{cases} \pi,&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a. \end{cases}

Resposta

\boxed{ \mathcal{F}\bigl\{\tfrac{\sin(at)}{t}\bigr\}(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(at)}{t}\,e^{-i\omega t}\,dt =\begin{cases} \pi,&|\omega|<a,\\\\ 0,&|\omega|>a. \end{cases} }

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