(4 ptos) O nível de concentração de oxigênio
num rio, em função da distância
medida a partir do local de descarga de poluentes é:
Calcule a distância para o qual o nível de oxigênio desce para o valor de 15 . Utilize os 3 métodos aprendidos em aula e compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a distância
tal que o nível de oxigênio
atinja o valor
. Isto é equivalente a resolver
O conteúdo é de métodos numéricos para equações não lineares. Vamos usar três métodos: bissecção, Newton–Raphson e secante.
Passo 2
Definimos
Para escolher um intervalo inicial no método da bissecção, avaliamos
Logo existe uma raiz em
.
Passo 3
Método da bissecção com tolerância
no intervalo inicial
:
Na iteração 1 tomamos ,
Na iteração 1 tomamos
como é negativo, o novo intervalo é
.
Na iteração 2 temos ,
Na iteração 2 temos
Na iteração 3
,
Na iteração 4
,
E assim por diante até que o comprimento do intervalo seja menor que
. São necessárias cerca de 15 iterações para obter
Passo 4
Método de Newton–Raphson. A derivada é
Escolhemos
e iteramos
Cálculos principais:
dado ,
,
,
dado
Em seguida
.
Em 4 iterações já alcançamos erro abaixo de .
Em 4 iterações já alcançamos erro abaixo de
Passo 5
Método da secante com
e
. A fórmula é
Calculamos:
Também em 4 iterações chegamos à precisão desejada.
Passo 6
Comparando os três métodos:
- Bissecção: converge de forma garantida, mas leva cerca de 15 iterações.
- Newton–Raphson: converge muito rápido (4 iterações), desde que
não seja mal escolhido. - Secante: também em 4 iterações atinge a mesma precisão, sem precisar de derivada explícita.
Resposta
A distância para que o nível de oxigênio caia a
é aproximadamente