(4 ptos) O nível de concentração de oxigênio C num rio, em função da distância d medida a partir do local de descarga de poluentes é:
C=25-35\left(e^{-0.1 d}-e^{-0.9 d}\right)
Calcule a distância para o qual o nível de oxigênio desce para o valor de 15 . Utilize os 3 métodos aprendidos em aula e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a distância d tal que o nível de oxigênio
C(d)=25-35\bigl(e^{-0.1d}-e^{-0.9d}\bigr)
atinja o valor 15. Isto é equivalente a resolver
f(d)=C(d)-15=10-35\bigl(e^{-0.1d}-e^{-0.9d}\bigr)=0.
O conteúdo é de métodos numéricos para equações não lineares. Vamos usar três métodos: bissecção, Newton–Raphson e secante.

Passo 2

Definimos
f(d)=10-35\bigl(e^{-0.1d}-e^{-0.9d}\bigr).
Para escolher um intervalo inicial no método da bissecção, avaliamos
f(10)=10-35\bigl(e^{-1}-e^{-9}\bigr)\approx10-12,87=-2,87<0,
f(13)=10-35\bigl(e^{-1,3}-e^{-11,7}\bigr)\approx10-9,54=0,46>0.
Logo existe uma raiz em [10,13].

Passo 3

Método da bissecção com tolerância \varepsilon=10^{-4} no intervalo inicial [10,13]:
Na iteração 1 tomamos d_m=(10+13)/2=11,50,
f(11,50)\approx10-35(0,3166-0,0000322)\approx-1,08,
como é negativo, o novo intervalo é [11,50,13].
Na iteração 2 temos d_m=(11,50+13)/2=12,25,
f(12,25)\approx-0,286<0\quad\Rightarrow\quad[12,25,13].
Na iteração 3 d_m=12,625,
f(12,625)\approx0,078>0\quad\Rightarrow\quad[12,25,12,625].
Na iteração 4 d_m=12,4375,
f(12,4375)\approx-0,097\quad\Rightarrow\quad[12,4375,12,625].
E assim por diante até que o comprimento do intervalo seja menor que 10^{-4}. São necessárias cerca de 15 iterações para obter
d\approx12,532.

Passo 4

Método de Newton–Raphson. A derivada é
f'(d)=35\bigl(0,1\,e^{-0.1d}-0,9\,e^{-0.9d}\bigr).
Escolhemos d_0=10 e iteramos
d_{n+1}=d_n-\frac{f(d_n)}{f'(d_n)}.
Cálculos principais:
dado d_0=10, \;f(10)\approx-2,872, \;f'(10)\approx1,284,
d_1=10-\frac{-2,872}{1,284}\approx12,238.
Em seguida \,d_2\approx12,535,\quad d_3\approx12,528,\quad d_4\approx12,532.
Em 4 iterações já alcançamos erro abaixo de 10^{-4}.

Passo 5

Método da secante com d_0=10 e d_1=13. A fórmula é
d_{n+2}=d_{n+1}-f(d_{n+1})\frac{d_{n+1}-d_n}{f(d_{n+1})-f(d_n)}.
Calculamos: f(10)\approx-2,872,\;f(13)\approx0,462
d_2=13-0,462\frac{13-10}{0,462-(-2,872)}\approx12,584,
d_3\approx12,522,\quad d_4\approx12,532.
Também em 4 iterações chegamos à precisão desejada.

Passo 6

Comparando os três métodos:
  • Bissecção: converge de forma garantida, mas leva cerca de 15 iterações.
  • Newton–Raphson: converge muito rápido (4 iterações), desde que d_0 não seja mal escolhido.
  • Secante: também em 4 iterações atinge a mesma precisão, sem precisar de derivada explícita.

Resposta

A distância para que o nível de oxigênio caia a 15 é aproximadamente
d\approx12,532.

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