3 As densidades do sódio para três temperaturas são dadas a seguir:
i
Temperatura
\mathrm{T}_{\mathrm{i}}
Densidade
\square_{\mathrm{i}}
0 94^{\circ} \mathrm{C} 929 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
1 205^{\circ} \mathrm{C} 902 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
2 371^{\circ} \mathrm{C} 860 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
Utilizando a Fórmula de Interpolação de Lagrange, estime o valor aproximado da densidade para \mathrm{T}=247^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com três temperaturas e as respectivas densidades do sódio, e pede que eu estime a densidade em 247^\circ \mathrm{C} usando a Fórmula de Interpolação de Lagrange.
As informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado) são:
\begin{aligned} T_0 &= 94^\circ\mathrm{C}, & \rho_0 &= 929\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\\\ T_1 &= 205^\circ\mathrm{C}, & \rho_1 &= 902\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,\\\ T_2 &= 371^\circ\mathrm{C}, & \rho_2 &= 860\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. \end{aligned}
A pergunta é: estimar a densidade \rho em T=247^\circ\mathrm{C} aplicando a Interpolação de Lagrange.

Passo 2

Apresento a Fórmula de Interpolação de Lagrange para três pontos (polinômio de grau 2). Se temos pontos (T_0,\rho_0), (T_1,\rho_1), (T_2,\rho_2), o polinômio interpolador P(T) é
P(T)=\rho_0\,\ell_0(T)+\rho_1\,\ell_1(T)+\rho_2\,\ell_2(T),
onde cada polinômio base \ell_i(T) é dado por
\ell_0(T)=\frac{(T-T_1)(T-T_2)}{(T_0-T_1)(T_0-T_2)},\qquad \ell_1(T)=\frac{(T-T_0)(T-T_2)}{(T_1-T_0)(T_1-T_2)},
\ell_2(T)=\frac{(T-T_0)(T-T_1)}{(T_2-T_0)(T_2-T_1)}.
Explicação rápida e prática: cada \ell_i(T) vale 1 em T=T_i e 0 nos outros T_j, então P(T) passa pelos três pontos. Para estimar em T=247^\circ\mathrm{C} basta calcular \ell_0(247),\ell_1(247),\ell_2(247) e formar P(247).

Passo 3

Identifico claramente os valores que vou usar (já mostrados no Passo 1, mas reiterando para evitar confusão):
T_0=94,\quad T_1=205,\quad T_2=371,
\rho_0=929,\quad \rho_1=902,\quad \rho_2=860,
e quero P(247) com T=247.

Passo 4

Calculo os denominadores de cada \ell_i (esses só dependem dos T_i e faço passo a passo):
(T_0-T_1)=(94-205)=-111,
(T_0-T_2)=(94-371)=-277,
portanto
(T_0-T_1)(T_0-T_2)=(-111)(-277)=30747.
Para \ell_1:
(T_1-T_0)=(205-94)=111,
(T_1-T_2)=(205-371)=-166,
(T_1-T_0)(T_1-T_2)=111\cdot(-166)=-18426.
Para \ell_2:
(T_2-T_0)=(371-94)=277,
(T_2-T_1)=(371-205)=166,
(T_2-T_0)(T_2-T_1)=277\cdot166=45982.

Passo 5

Calculo os numeradores das \ell_i em T=247 (cada numerador é produto de duas diferenças 247-T_j):
(247-T_1)=(247-205)=42,\qquad (247-T_2)=(247-371)=-124,
\Rightarrow (247-T_1)(247-T_2)=42\cdot(-124)=-5208.
(247-T_0)=(247-94)=153,\qquad (247-T_2)=-124,
\Rightarrow (247-T_0)(247-T_2)=153\cdot(-124)=-18972.
(247-T_0)=153,\qquad (247-T_1)=42,
\Rightarrow (247-T_0)(247-T_1)=153\cdot42=6426.

Passo 6

Agora as \ell_i(247) são numerador dividido por denominador:
\ell_0(247)=\frac{-5208}{30747}\approx -0{,}169382,
\ell_1(247)=\frac{-18972}{-18426}=\frac{18972}{18426}\approx 1{,}02963,
\ell_2(247)=\frac{6426}{45982}\approx 0{,}13975.
Breve comentário: os sinais fazem sentido — \ell_1 é maior que 1 porque 247 está mais próximo do ponto T_1 e a curvatura do polinômio causa coeficiente acima de 1; \ell_0 ficou negativo porque o valor está à direita de T_0 e a combinação dos fatores gerou sinal negativo.

Passo 7

Multiplico cada \ell_i(247) por \rho_i para obter as contribuições ao polinômio:
\rho_0\ell_0(247)=929\cdot(-0{,}169382)\approx -157{,}356,
\rho_1\ell_1(247)=902\cdot1{,}02963\approx 928{,}743,
\rho_2\ell_2(247)=860\cdot0{,}13975\approx 120{,}185.

Passo 8

Somando as três contribuições obtenho o valor interpolado:
P(247)= -157{,}356 + 928{,}743 + 120{,}185 \approx 891{,}572.
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal (valores de densidade normalmente dados com 1 ou 2 casas decimais), fica 891{,}6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Resposta

\rho(247^\circ\mathrm{C}) \approx 891{,}6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3

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