3 As densidades do sódio para três temperaturas são dadas a seguir:
i
Temperatura
Densidade
0
1
2
Utilizando a Fórmula de Interpolação de Lagrange, estime o valor aproximado da densidade para
.
| i |
|
|
||||
| 0 |
|
|
||||
| 1 |
|
|
||||
| 2 |
|
|
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com três temperaturas e as respectivas densidades do sódio, e pede que eu estime a densidade em
usando a Fórmula de Interpolação de Lagrange.
As informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado) são:
As informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado) são:
A pergunta é: estimar a densidade
em
aplicando a Interpolação de Lagrange.
Passo 2
Apresento a Fórmula de Interpolação de Lagrange para três pontos (polinômio de grau 2). Se temos pontos
,
,
, o polinômio interpolador
é
onde cada polinômio base
é dado por
Explicação rápida e prática: cada
vale
em
e
nos outros
, então
passa pelos três pontos. Para estimar em
basta calcular
e formar
.
Passo 3
Identifico claramente os valores que vou usar (já mostrados no Passo 1, mas reiterando para evitar confusão):
e quero
com
.
Passo 4
Calculo os denominadores de cada
(esses só dependem dos
e faço passo a passo):
portanto
Para
:
Para
:
Passo 5
Calculo os numeradores das
em
(cada numerador é produto de duas diferenças
):
Passo 6
Agora as
são numerador dividido por denominador:
Breve comentário: os sinais fazem sentido —
é maior que 1 porque
está mais próximo do ponto
e a curvatura do polinômio causa coeficiente acima de 1;
ficou negativo porque o valor está à direita de
e a combinação dos fatores gerou sinal negativo.
Passo 7
Multiplico cada
por
para obter as contribuições ao polinômio:
Passo 8
Somando as três contribuições obtenho o valor interpolado:
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal (valores de densidade normalmente dados com 1 ou 2 casas decimais), fica
.