4 Um pára-quedista realizou seis saltos, saltando de alturas distintas em cada salto. Foi testada a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio de 5 m , de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa a circunferência.
ALTURA (m)
DISTÂNCIA DO ALVO (m)
1^{\circ} salto: 1500
35
2^{\circ} salto: 1250
25
3^{\circ} salto: 1000
15
4^{\circ} salto: 750
10
5^{\circ} salto: 500
7
Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o páraquedista se ele saltasse de uma altura de 900 m ?
Passo 1
O enunciado pergunta: “a que provável distância do alvo cairia o pára-quedista se ele saltasse de uma altura de 900\\ \text{m}?”\n
Dados fornecidos (peguei esses números da tabela do enunciado):
Esses pares representam (\text{altura em m},\\ \text{distância do alvo em m}). A tarefa é estimar a distância correspondente a \text{altura}=900\\ \text{m}.
Passo 2
Método escolhido: ajustar uma reta (regressão linear simples) aos pontos e usar essa reta para prever a distância em 900\\ \text{m}. Vou explicar por que e como: como temos pares (x,y) e queremos prever y para um x intermediário (900 está entre 500 e 1000), um ajuste linear é uma escolha natural e simples — além disso os pontos sugerem uma relação aproximadamente linear decrescente. Vou mostrar a fórmula da regressão e calcular passo a passo.
Passo 3
Conceito e fórmulas (mini-aula): a regressão linear simples ajusta uma reta
\hat{y}=a x + b,
onde a é a inclinação e b o intercepto. As fórmulas dos estimadores pelo método dos mínimos quadrados são
em que n é o número de observações, \sum x é a soma das abscissas, \sum y a soma das ordenadas, \sum xy a soma dos produtos x_i y_i, \sum x^2 a soma dos quadrados de x_i, e \overline{x}=\dfrac{\sum x}{n}, \overline{y}=\dfrac{\sum y}{n}. Essas fórmulas minimizam a soma dos quadrados dos erros (y_i-\hat y_i)^2.
Passo 4
Calcular n, \sum x, \sum y, \overline{x} e \overline{y}.\n
Temos n=5.\n
Interpretação rápida: para cada aumento de 1\\ \text{m} na altura, a distância prevista aumenta 0{,}0284\\ \text{m}; aqui a inclinação positiva aparece porque os dados originais mostram que alturas maiores resultam em maiores distâncias (faz sentido no contexto). O valor negativo de b é o intercepto teórico extrapolado quando x=0, que não tem interpretação física real no intervalo observado, mas é necessário para a reta.
Passo 9
Prever para x=900. Usamos a reta:
\hat{y}=0{,}0284\cdot 900 - 10{,}0.
Calculemos:
0{,}0284\cdot 900 = 25{,}56,
\hat{y}=25{,}56 - 10{,}0 = 15{,}56.
Portanto a previsão é que o pára-quedista cairia a aproximadamente 15{,}56\\ \text{m} do centro do alvo ao saltar de 900\\ \text{m}.