4 Um pára-quedista realizou seis saltos, saltando de alturas distintas em cada salto. Foi testada a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio de 5 m , de acordo com a altura. A distância apresentada na tabela abaixo é relativa a circunferência.
ALTURA (m) DISTÂNCIA DO ALVO (m)
1^{\circ} salto: 1500 35
2^{\circ} salto: 1250 25
3^{\circ} salto: 1000 15
4^{\circ} salto: 750 10
5^{\circ} salto: 500 7
Levando em consideração os dados acima, a que provável distância do alvo cairia o páraquedista se ele saltasse de uma altura de 900 m ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “a que provável distância do alvo cairia o pára-quedista se ele saltasse de uma altura de 900\\ \text{m}?”\n
Dados fornecidos (peguei esses números da tabela do enunciado):
(1500,\;35),\;(1250,\;25),\;(1000,\;15),\;(750,\;10),\;(500,\;7).
Esses pares representam (\text{altura em m},\\ \text{distância do alvo em m})â. A tarefa é estimar a distância correspondente a \text{altura}=900\\ \text{m}.

Passo 2

Método escolhido: ajustar uma reta (regressão linear simples) aos pontos e usar essa reta para prever a distância em 900\\ \text{m}. Vou explicar por que e como: como temos pares (x,y) e queremos prever y para um x intermediário ( 900 está entre 500 e 1000), um ajuste linear é uma escolha natural e simples — além disso os pontos sugerem uma relação aproximadamente linear decrescente. Vou mostrar a fórmula da regressão e calcular passo a passo.

Passo 3

Conceito e fórmulas (mini-aula): a regressão linear simples ajusta uma reta
\hat{y}=a x + b,
onde a é a inclinação e b o intercepto. As fórmulas dos estimadores pelo método dos mínimos quadrados são
a=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}, \qquad b=\overline{y}-a\overline{x},
em que n é o número de observações, \sum x é a soma das abscissas, \sum y a soma das ordenadas, \sum xy a soma dos produtos x_i y_i, \sum x^2 a soma dos quadrados de x_i, e \overline{x}=\dfrac{\sum x}{n}, \overline{y}=\dfrac{\sum y}{n}. Essas fórmulas minimizam a soma dos quadrados dos erros (y_i-\hat y_i)^2.

Passo 4

Calcular n, \sum x, \sum y, \overline{x} e \overline{y}.\n
Temos n=5.\n
\sum x = 1500+1250+1000+750+500 = 5000.
\sum y = 35+25+15+10+7 = 92.
\overline{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{5000}{5}=1000.
\overline{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{92}{5}=18{,}4.

Passo 5

Calcular \sum xy e \sum x^{2} mostrando cada produto (peguei os x e y da tabela).
1500\cdot 35 = 52500,
1250\cdot 25 = 31250,
1000\cdot 15 = 15000,
750\cdot 10 = 7500,
500\cdot 7 = 3500.
Somando:
\sum xy = 52500+31250+15000+7500+3500 = 109750.
Agora os quadrados:
1500^{2}=2250000,\quad 1250^{2}=1562500,\quad 1000^{2}=1000000,
750^{2}=562500,\quad 500^{2}=250000.
Somando:
\sum x^{2}=2250000+1562500+1000000+562500+250000=5625000.

Passo 6

Calcular a inclinação a usando a fórmula. Primeiro copio a fórmula:
a=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}.
Substituindo os números:
n\sum xy = 5\cdot 109750 = 548750,
(\sum x)(\sum y)=5000\cdot 92 = 460000,
n\sum x^{2} = 5\cdot 5625000 = 28125000,
(\sum x)^{2} = 5000^{2} = 25000000.
Então o numerador e denominador são
\text{numerador}=548750-460000=88750,
\text{denominador}=28125000-25000000=3125000.
Portanto
a=\frac{88750}{3125000}=0{,}0284.

Passo 7

Calcular o intercepto b com b=\overline{y}-a\overline{x}. Substituindo:
b=18{,}4 - 0{,}0284\cdot 1000 = 18{,}4 - 28{,}4 = -10{,}0.

Passo 8

A reta ajustada é
\hat{y}=0{,}0284\,x - 10{,}0.
Interpretação rápida: para cada aumento de 1\\ \text{m} na altura, a distância prevista aumenta 0{,}0284\\ \text{m}; aqui a inclinação positiva aparece porque os dados originais mostram que alturas maiores resultam em maiores distâncias (faz sentido no contexto). O valor negativo de b é o intercepto teórico extrapolado quando x=0, que não tem interpretação física real no intervalo observado, mas é necessário para a reta.

Passo 9

Prever para x=900. Usamos a reta:
\hat{y}=0{,}0284\cdot 900 - 10{,}0.
Calculemos:
0{,}0284\cdot 900 = 25{,}56,
\hat{y}=25{,}56 - 10{,}0 = 15{,}56.
Portanto a previsão é que o pára-quedista cairia a aproximadamente 15{,}56\\ \text{m} do centro do alvo ao saltar de 900\\ \text{m}.

Resposta

15{,}56\\ \text{m}

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