Derive as funções f(z)=\left(z^{2}+1\right)^{2} e f(z)=\frac{(z+1)^{2}}{z^{2}+1}. (observação : as regras de derivação das funções de variável real em relação às operações algébricas e regara de cadeia valem também para funções de variável complexa)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de duas funções de variável complexa, mas podemos usar as mesmas regras de derivação que valem para funções reais: a regra do poder, a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Para a função
\displaystyle f(z)=(z^2+1)^2,
definimos u(z)=z^2+1, de modo que f(z)=u(z)^2.
Pela regra da cadeia e do poder:
u'(z)=2z, \qquad f'(z)=2\,u(z)\,u'(z)=2\,(z^2+1)\,2z=4z\,(z^2+1).

Passo 3

Para a função
\displaystyle f(z)=\frac{(z+1)^2}{z^2+1},
aplicamos a regra do quociente com
p(z)=(z+1)^2,\quad q(z)=z^2+1.
Então
p'(z)=2(z+1), \qquad q'(z)=2z,
e
f'(z) =\frac{p'(z)\,q(z)-p(z)\,q'(z)}{[q(z)]^2} =\frac{2(z+1)(z^2+1)-2z\,(z+1)^2}{(z^2+1)^2}.
No numerador, fatoramos 2(z+1):
2(z+1)\bigl((z^2+1)-z(z+1)\bigr) =2(z+1)(1-z).
Logo,
f'(z)=\frac{2(z+1)(1-z)}{(z^2+1)^2}.

Resposta

Para \displaystyle f(z)=(z^2+1)^2:
f'(z)=4z\,(z^2+1).
Para \displaystyle f(z)=\frac{(z+1)^2}{z^2+1}:
f'(z)=\frac{2(z+1)(1-z)}{(z^2+1)^2}.

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