|3.0| Explique o motivo do método de Newton-Raphson ser considerado um caso particular do metodo do ponto-fixo. Por fim, utilize o metodo de Newton-Raphson para achar um zero exato dn funçio f(x)=x^{-1}-x-1 e \varepsilon=10^{-6}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro explicar por que o método de Newton–Raphson é um caso particular do método de ponto-fixo e depois usar Newton–Raphson para encontrar, com precisão \varepsilon=10^{-6}, uma raiz da função
f(x)=x^{-1}-x-1.
O conteúdo envolve entendimento de ponto-fixo (iteração x=g(x)) e aplicação da fórmula de Newton
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

O método de ponto-fixo busca resolver x=g(x) através da iteração
x_{n+1}=g(x_n),
onde g deve ser uma função que, em um intervalo apropriado, seja contração (para garantir convergência). Se a sequência converge, seu limite x^* satisfaz x^*=g(x^*).

Passo 3

No método de Newton definimos
g(x)\;=\;x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
Aplicando a iteração de ponto-fixo a esse g obtemos exatamente
x_{n+1} =\,x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
que é a fórmula de Newton. Logo Newton–Raphson é um caso particular do método de ponto-fixo com a escolha g(x)=x-f(x)/f'(x).

Passo 4

Para nossa função
f(x)=x^{-1}-x-1
temos
f'(x)=-x^{-2}-1.
Antes de iterar, podemos achar a raiz exata resolvendo
x^{-1}-x-1=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac1x=x+1 \;\Longleftrightarrow\; x^2+x-1=0.
As raízes são
x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt5}{2},
isto é \frac{\sqrt5-1}{2}\approx0{,}618034 ou \frac{-1-\sqrt5}{2}\approx-1{,}618034.

Passo 5

Vamos aplicar Newton para convergir à raiz positiva \displaystyle\frac{\sqrt5-1}{2}. A iteração é
x_{n+1} =\,x_n-\frac{x_n^{-1}-x_n-1}{-x_n^{-2}-1} =\,\frac{2x_n - x_n^2}{1+x_n^2}.

Passo 6

Escolhemos x_0=1 e iteramos até \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-6}:
x_0=1
x_1=\frac{2\cdot1-1^2}{1+1^2}=\frac{1}{2}=0{,}5,\quad |x_1-x_0|=0{,}5
x_2=\frac{2\cdot0{,}5-(0{,}5)^2}{1+(0{,}5)^2} =\frac{1-0{,}25}{1+0{,}25}=0{,}6,\quad |x_2-x_1|=0{,}1
x_3\approx0{,}617647,\quad |x_3-x_2|\approx0{,}017647
x_4\approx0{,}617978,\quad |x_4-x_3|\approx0{,}000331
x_5\approx0{,}618026,\quad |x_5-x_4|\approx0{,}000048
x_6\approx0{,}618032,\quad |x_6-x_5|\approx0{,}000006
x_7\approx0{,}618034,\quad |x_7-x_6|\approx0{,}000002\quad(\text{ainda maior que }10^{-6})
x_8\approx0{,}618034,\quad |x_8-x_7|\approx0{,}0000004<10^{-6}.

Passo 7

Como em n=8 a diferença \lvert x_8-x_7\rvert já é menor que a tolerância 10^{-6}, paramos a iteração e adotamos
x^*\approx x_8\approx0{,}618034.

Resposta

A raiz aproximada obtida por Newton–Raphson é
x\approx0{,}618034 \quad(\varepsilon=10^{-6}).

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