|3.0| Explique o motivo do método de Newton-Raphson ser considerado um caso particular do metodo do ponto-fixo. Por fim, utilize o metodo de Newton-Raphson para achar um zero exato dn funçio
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro explicar por que o método de Newton–Raphson é um caso particular do método de ponto-fixo e depois usar Newton–Raphson para encontrar, com precisão
, uma raiz da função
O conteúdo envolve entendimento de ponto-fixo (iteração
) e aplicação da fórmula de Newton
Passo 2
O método de ponto-fixo busca resolver
através da iteração
onde
deve ser uma função que, em um intervalo apropriado, seja contração (para garantir convergência). Se a sequência converge, seu limite
satisfaz
.
Passo 3
No método de Newton definimos
Aplicando a iteração de ponto-fixo a esse
obtemos exatamente
que é a fórmula de Newton. Logo Newton–Raphson é um caso particular do método de ponto-fixo com a escolha
.
Passo 4
Para nossa função
temos
Antes de iterar, podemos achar a raiz exata resolvendo
As raízes são
isto é
ou
.
Passo 5
Vamos aplicar Newton para convergir à raiz positiva
. A iteração é
Passo 6
Escolhemos
e iteramos até
:
Passo 7
Como em
a diferença
já é menor que a tolerância
, paramos a iteração e adotamos
Resposta
A raiz aproximada obtida por Newton–Raphson é