Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura
\begin{gathered} \left(\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})^{*}, \bullet\right) \\\ \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})^{*} \stackrel{\text { def }}{=}\left\{A \in \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) \mid \operatorname{det}(A) \neq 0\right\} \quad \text { (matrizes } 2 \times 2 \text { não degeneradas) } \\\ \bullet: \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})^{*} \times \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})^{*} \mapsto \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})^{*} \quad \text { (produto matricial comum). } \end{gathered}ã
(25 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a estrutura
M_2(\mathbb{R})^* \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{A\in M_2(\mathbb{R})\mid \det(A)\neq 0\}
com a operação \bullet definida como o produto matricial usual forma um grupo. Vamos conferir os quatro axiomas de grupo: fechadura, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechadura: dado A,B\in M_2(\mathbb{R})^*, isto é, \det(A)\neq0 e \det(B)\neq0, então vale a propriedade
\det(A\bullet B)=\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Como o produto de dois reais não nulos é não nulo, concluímos \det(AB)\neq0. Logo A\bullet B\in M_2(\mathbb{R})^*.

Passo 3

Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa em M_2(\mathbb{R}), isto é, para quaisquer A,B,C\in M_2(\mathbb{R})^* vale
(A\bullet B)\bullet C = A\bullet(B\bullet C).
Como M_2(\mathbb{R})^*\subset M_2(\mathbb{R}), essa associatividade permanece válida no subconjunto de matrizes invertíveis.

Passo 4

Elemento neutro: a matriz identidade
I_2=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
tem \det(I_2)=1\neq0, logo I_2\in M_2(\mathbb{R})^*. E para todo A\in M_2(\mathbb{R})^* vale
I_2\bullet A = A\quad\text{e}\quad A\bullet I_2 = A.

Passo 5

Inversos: dada A\in M_2(\mathbb{R})^*, como \det(A)\neq0 existe a matriz inversa A^{-1} em M_2(\mathbb{R}) dada por
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A),
onde \mathrm{adj}(A) é a adjunta de A. Tem-se \det(A^{-1}) = \bigl(\det(A)\bigr)^{-1}\neq0, logo A^{-1}\in M_2(\mathbb{R})^*, e ainda
A\bullet A^{-1}=I_2\quad\text{e}\quad A^{-1}\bullet A=I_2.

Resposta

A estrutura \bigl(M_2(\mathbb{R})^*,\bullet\bigr) satisfaz todos os axiomas de grupo e, em geral, não é comutativa. Portanto, é um grupo não abeliano.

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