Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura
(25 pontos)
Verifique os axiómas do grupo para a estrutura
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a estrutura
com a operação
definida como o produto matricial usual forma um grupo. Vamos conferir os quatro axiomas de grupo: fechadura, associatividade, elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Fechadura: dado
, isto é,
e
, então vale a propriedade
Como o produto de dois reais não nulos é não nulo, concluímos
. Logo
.
Passo 3
Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa em
, isto é, para quaisquer
vale
Como
, essa associatividade permanece válida no subconjunto de matrizes invertíveis.
Passo 4
Elemento neutro: a matriz identidade
tem
, logo
. E para todo
vale
Passo 5
Inversos: dada
, como
existe a matriz inversa
em
dada por
onde
é a adjunta de
. Tem-se
, logo
, e ainda
Resposta
A estrutura
satisfaz todos os axiomas de grupo e, em geral, não é comutativa. Portanto, é um grupo não abeliano.