Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}10 x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=12, \\\\ -2 x_{1}+10 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=-9, \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+9 x_{3}+x_{4}=7, \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+8 x_{4}=15 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a resolução do sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}=12,\\\\ -2x_{1}+10x_{2}+2x_{3}-x_{4}=-9,\\\\ 3x_{1}-x_{2}+9x_{3}+x_{4}=7,\\\ x_{1}+2x_{2}-x_{3}+8x_{4}=15 \end{cases}
pelo método iterativo de Gauss–Seidel, verificando convergência e executando quatro iterações com x^{(0)}=(0,0,0,0) e aproximando cada valor a quatro casas decimais.

Passo 2

Para garantir convergência, basta observar que a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 10 & 1 & -1 & 2\\\\ -2 & 10 & 2 & -1\\\\ 3 & -1 & 9 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 & 8 \end{pmatrix}
é estritamente diagonalmente dominante, pois em cada linha a soma dos módulos dos termos não diagonais é menor que o módulo do termo diagonal. Logo, o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

Isolando cada incógnita em função das demais, obtemos as fórmulas iterativas
x_{1}^{(k+1)} = \frac{12 - x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)} - 2\,x_{4}^{(k)}}{10}
x_{2}^{(k+1)} = \frac{-9 + 2\,x_{1}^{(k+1)} - 2\,x_{3}^{(k)} + x_{4}^{(k)}}{10}
x_{3}^{(k+1)} = \frac{7 - 3\,x_{1}^{(k+1)} + x_{2}^{(k+1)} - x_{4}^{(k)}}{9}
x_{4}^{(k+1)} = \frac{15 - x_{1}^{(k+1)} - 2\,x_{2}^{(k+1)} + x_{3}^{(k+1)}}{8}

Passo 4

Primeira iteração ( k=0, x^{(0)}=(0,0,0,0)):
x_{1}^{(1)} = \frac{12 - 0 + 0 - 2\cdot0}{10} = 1{,}2
x_{2}^{(1)} = \frac{-9 + 2\cdot1{,}2 - 2\cdot0 + 0}{10} = -0{,}66
x_{3}^{(1)} = \frac{7 - 3\cdot1{,}2 +(-0{,}66) - 0}{9} = 0{,}3044
x_{4}^{(1)} = \frac{15 - 1{,}2 - 2(-0{,}66) + 0{,}3044}{8} = 1{,}9281
Portanto,
x^{(1)} = \bigl(1{,}2000,\,-0{,}6600,\,0{,}3044,\,1{,}9281\bigr).

Passo 5

Segunda iteração ( k=1):
x_{1}^{(2)} = \frac{12 -(-0{,}6600)+0{,}3044 -2\cdot1{,}9281}{10} = 0{,}9108
x_{2}^{(2)} = \frac{-9 +2\cdot0{,}9108 -2\cdot0{,}3044 +1{,}9281}{10} = -0{,}5859
x_{3}^{(2)} = \frac{7 -3\cdot0{,}9108 +(-0{,}5859) -1{,}9281}{9} = 0{,}1948
x_{4}^{(2)} = \frac{15 -0{,}9108 -2(-0{,}5859) +0{,}1948}{8} = 1{,}9320
Logo,
x^{(2)} = \bigl(0{,}9108,\,-0{,}5859,\,0{,}1948,\,1{,}9320\bigr).

Passo 6

Terceira iteração ( k=2):
x_{1}^{(3)} = \frac{12 -(-0{,}5859)+0{,}1948 -2\cdot1{,}9320}{10} = 0{,}8917
x_{2}^{(3)} = \frac{-9 +2\cdot0{,}8917 -2\cdot0{,}1948 +1{,}9320}{10} = -0{,}5674
x_{3}^{(3)} = \frac{7 -3\cdot0{,}8917 +(-0{,}5674) -1{,}9320}{9} = 0{,}2028
x_{4}^{(3)} = \frac{15 -0{,}8917 -2(-0{,}5674) +0{,}2028}{8} = 1{,}9307
Assim,
x^{(3)} = \bigl(0{,}8917,\,-0{,}5674,\,0{,}2028,\,1{,}9307\bigr).

Passo 7

Quarta iteração ( k=3):
x_{1}^{(4)} = \frac{12 -(-0{,}5674)+0{,}2028 -2\cdot1{,}9307}{10} = 0{,}8909
x_{2}^{(4)} = \frac{-9 +2\cdot0{,}8909 -2\cdot0{,}2028 +1{,}9307}{10} = -0{,}5693
x_{3}^{(4)} = \frac{7 -3\cdot0{,}8909 +(-0{,}5693) -1{,}9307}{9} = 0{,}2030
x_{4}^{(4)} = \frac{15 -0{,}8909 -2(-0{,}5693) +0{,}2030}{8} = 1{,}9313
Portanto,
x^{(4)} = \bigl(0{,}8909,\,-0{,}5693,\,0{,}2030,\,1{,}9313\bigr).

Resposta

\displaystyle x^{(4)}\approx(0{,}8909,\,-0{,}5693,\,0{,}2030,\,1{,}9313)

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