Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{r}10 x_{1}+x_{2}-x_{3}+2 x_{4}=12, \\\\ -2 x_{1}+10 x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=-9, \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+9 x_{3}+x_{4}=7, \\\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+8 x_{4}=15 .\end{array}\right.
pelo método iterativo de Gauss–Seidel, verificando convergência e executando quatro iterações com x^{(0)}=(0,0,0,0) e aproximando cada valor a quatro casas decimais.
Passo 2
Para garantir convergência, basta observar que a matriz dos coeficientes
é estritamente diagonalmente dominante, pois em cada linha a soma dos módulos dos termos não diagonais é menor que o módulo do termo diagonal. Logo, o método de Gauss–Seidel converge.
Passo 3
Isolando cada incógnita em função das demais, obtemos as fórmulas iterativas