Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{r}10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=6, \\\\ -2 x_{1}+11 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=25, \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}-2 x_{4}=-11, \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+8 x_{4}=15 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Jacobi, o sistema
\begin{cases} 10x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=6,\\\\ -2x_{1}+11x_{2}-x_{3}+3x_{4}=25,\\\\ 3x_{1}-x_{2}+10x_{3}-2x_{4}=-11,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+8x_{4}=15 \end{cases}
usando iterações com x^{0}=(0,0,0,0), 4 casas decimais e ao menos 4 iterações. O método de Gauss–Jacobi exige que o sistema esteja em forma x=Bx+c e converge se a matriz é estritamente diagonal dominante.

Passo 2

Verificamos a dominância diagonal de cada linha. Para a linha i com diagonal a_{ii} e somatório S_{i}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
linha 1: |10|>1+2+1=4,
linha 2: |11|>2+1+3=6,
linha 3: |10|>3+1+2=6,
linha 4: |8|>2+3+1=6.
Logo há dominância estrita em todas as linhas e o método converge.

Passo 3

Isolamos cada x_i e obtemos as fórmulas de iteração:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{6 + x_{2}^{(k)} -2x_{3}^{(k)} + x_{4}^{(k)}}{10},
x_{2}^{(k+1)}=\frac{25 +2x_{1}^{(k)} + x_{3}^{(k)} -3x_{4}^{(k)}}{11},
x_{3}^{(k+1)}=\frac{-11 -3x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)} +2x_{4}^{(k)}}{10},
x_{4}^{(k+1)}=\frac{15 -2x_{1}^{(k)} -3x_{2}^{(k)} + x_{3}^{(k)}}{8}.
Adotamos x^{(0)}=(0,0,0,0).

Passo 4

Aplicamos as fórmulas para k=0,1,2,3 e arredondamos a 4 casas decimais:
k =0\to \;x^{(1)}=\bigl(0{,}6000,\;2{,}2727,\;-1{,}1000,\;1{,}8750\bigr).
k =1\to \;x^{(2)}=\bigl(1{,}2348,\;1{,}7705,\;-0{,}6777,\;0{,}7352\bigr).
k =2\to \;x^{(3)}=\bigl(0{,}9861,\;2{,}2351,\;-1{,}1464,\;0{,}8176\bigr).
k =3\to \;x^{(4)}=\bigl(1{,}1346,\;2{,}1248,\;-1{,}0088,\;0{,}6470\bigr).

Resposta

Após 4 iterações, com 4 casas decimais, obtemos
x^{(4)} = \bigl(1{,}1346,\;2{,}1248,\;-1{,}0088,\;0{,}6470\bigr).

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