Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi. Para cada sistema, verifique a condição de convergência e realize ao menos 4 iterações com aproximação inicial x^{0}=(0,0,0) e usado 4 casas decimais. \left\{\begin{array}{r}10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=6, \\\\ -2 x_{1}+11 x_{2}-x_{3}+3 x_{4}=25, \\\\ 3 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}-2 x_{4}=-11, \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+8 x_{4}=15 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por Jacobi, o sistema
usando iterações com x^{0}=(0,0,0,0), 4 casas decimais e ao menos 4 iterações. O método de Gauss–Jacobi exige que o sistema esteja em forma x=Bx+c e converge se a matriz é estritamente diagonal dominante.
Passo 2
Verificamos a dominância diagonal de cada linha. Para a linha i com diagonal a_{ii} e somatório S_{i}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
linha 1: |10|>1+2+1=4,
linha 2: |11|>2+1+3=6,
linha 3: |10|>3+1+2=6,
linha 4: |8|>2+3+1=6.
Logo há dominância estrita em todas as linhas e o método converge.
Passo 3
Isolamos cada x_i e obtemos as fórmulas de iteração: