Deseja-se calcular o valor de
\sqrt[5]{2606}-\sqrt[5]{2605}
no SPF F=F(10,10, m, M).
Sendo \bar{a} e \bar{b} os respectivos representantes de \sqrt[5]{2606} e \sqrt[5]{2605} em F, qual destas estratégias seria preferível para calcular esse valor?
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão dupla.
Ousar
\exp (\ln \bar{a} /(\varepsilon+\ln \bar{b}))
com precisão simples.
Ousar
\frac{1}{\bar{a}+\bar{b}}
com precisão dupla.
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão simples.
Ousar
\frac{1}{(\bar{a})^{4}+(\bar{a})^{3} \bar{b}+(\bar{a})^{2}(\bar{b})^{2}+\bar{a}(\bar{b})^{3}+(\bar{b})^{4}}
com precisão simples.
O valor correto da expressão em F é
\square

Passo 1

O enunciado pede \sqrt[5]{2606}-\sqrt[5]{2605} em ponto-flutuante decimal com mantissa de 10 dígitos. Chamamos de \bar a e \bar b os representantes em F(10,10,m,M) de \sqrt[5]{2606} e \sqrt[5]{2605}. Como \bar a\approx\bar b, a subtração direta sofre de cancelamento catastrófico. Vamos buscar uma fórmula algébrica que evite essa perda de dígitos.

Passo 2

Usamos a fatoração
\bar a^5-\bar b^5=(\bar a-\bar b)\,\bigl(\bar a^4+\bar a^3\bar b+\bar a^2\bar b^2+\bar a\bar b^3+\bar b^4\bigr).
Como \bar a^5-\bar b^5=2606-2605=1, segue
\bar a-\bar b = \frac{1}{\bar a^4+\bar a^3\bar b+\bar a^2\bar b^2+\bar a\bar b^3+\bar b^4}.

Passo 3

Entre as opções dadas, a que utiliza
\frac{1}{(\bar a)^{4}+(\bar a)^{3} \bar b+(\bar a)^{2}(\bar b)^{2}+\bar a(\bar b)^{3}+(\bar b)^{4}}
com precisão simples é exatamente essa fórmula, evitando cancelamento.

Passo 4

Agora, approximamos \bar a\approx\sqrt[5]{2606} em aritmética de 10 dígitos e igual para \bar b. Numericamente, \bar a\approx4,82117 e \bar b\approx4,82080, de modo que o denominador
D=\bar a^4+\bar a^3\bar b+\bar a^2\bar b^2+\bar a\bar b^3+\bar b^4
fica próximo de 5\,(\bar a)^4\approx2704. Logo
\bar a-\bar b \approx \frac{1}{2704}\approx3,6983\times10^{-4}.
Em F(10,10) normalizado, o resultado é 3,698300000\times10^{-4}.

Resposta

A estratégia preferível é usar
\frac{1}{\bar a^4+\bar a^3\bar b+\bar a^2\bar b^2+\bar a\bar b^3+\bar b^4}
com precisão simples.
O valor em F(10,10,m,M) é
3,698300000\times10^{-4}.

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