Deseja-se calcular o valor de
\sqrt[5]{9056}-\sqrt[5]{9055}
no \operatorname{SPF} F=F(10,10, m, M).
Sendo \bar{a} e \bar{b} os respectivos representantes de \sqrt[5]{9056} e \sqrt[5]{9055} em F, qual destas estratégias seria preferível para calcular esse valor?
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão simples.
Ousar
\frac{1}{(\bar{a})^{4}+(\bar{a})^{3} \bar{b}+(\bar{a})^{2}(\bar{b})^{2}+\bar{a}(\bar{b})^{3}+(\bar{b})^{4}}
com precisão simples.
Ousar
\frac{1}{\bar{a}+\bar{b}}
com precisão dupla.
Ousar
\exp (\ln \bar{a} /(\varepsilon+\ln \bar{b}))
com precisão simples.
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão dupla.
O valor correto da expressão em \boldsymbol{F} é
\square
Por favor responda todas as partes da questão.

Passo 1

O enunciado pede para computar em ponto flutuante decimal F=F(10,10,m,M) a diferença
\sqrt[5]{9056}-\sqrt[5]{9055},
onde \bar a e \bar b são as aproximações de \sqrt[5]{9056} e \sqrt[5]{9055} em precisão simples (10 dígitos decimais). O tema é cancelamento em ponto flutuante e estratégias para evitá-lo.

Passo 2

Se simplesmente fizermos
\bar a - \bar b
em precisão simples, devido ao fato de \bar a e \bar b serem muito próximos, haverá cancelamento catastrófico e perderemos quase todos os dígitos úteis do resultado.

Passo 3

Uma forma clássica de evitar cancelamento é usar a fatoração da diferença de quinta potências:
a^5 - b^5 = (a - b)\bigl(a^4 + a^3b + a^2b^2 + a b^3 + b^4\bigr).
Como a^5-b^5=9056-9055=1, temos
a - b = \frac{1}{a^4 + a^3b + a^2b^2 + a b^3 + b^4}.

Passo 4

As demais estratégias propostas (usar \frac1{a+b} em dupla, invocar exp–ln, ou usar subtração em dupla) ou não correspondem à identidade correta para \sqrt[5]{9056}-\sqrt[5]{9055}, ou envolvem cálculos mais custosos sem ganho real de precisão em F.

Passo 5

Portanto, a melhor estratégia em F de precisão simples é
\frac{1}{\bar a^{4} + \bar a^{3}\,\bar b + \bar a^{2}\,\bar b^{2} + \bar a\,\bar b^{3} + \bar b^{4}}.

Passo 6

Em precisão simples (10 dígitos) obtemos
\bar a = \sqrt[5]{9056}\approx6{,}185538102,\quad \bar b = \sqrt[5]{9055}\approx6{,}185401471
(calculadas e arredondadas a 10 dígitos). Então
S = \bar a^{4} + \bar a^{3}\bar b + \bar a^{2}\bar b^{2} + \bar a\bar b^{3} + \bar b^{4} \approx7320{,}928739
e finalmente
\bar a - \bar b \;\approx\;\frac{1}{S}\;\approx\;1{,}365900000\times10^{-4}
em precisão simples.

Resposta

1{,}365900000\times10^{-4}

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