E1 Obtenha uma aproximação para a integral
\int_{0}^{1} e^{-\frac{z^{2}}{3}} d z
aproximando o integrando por um polinômio de grau 2. Utilize os pontos de interpolação z=0, z=0.6 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{0}^{1} e^{-\frac{z^{2}}{3}}\,dz
substituindo o integrando por um polinômio de grau 2 interpolador nos pontos z=0, z=0,6 e z=1. O método é construir o polinômio de Lagrange de grau 2, depois integrar esse polinômio de 0 a 1.

Passo 2

Sejam os nós z_{0}=0, z_{1}=0,6, z_{2}=1. O polinômio de Lagrange é
p(z)=f(z_{0})\,L_{0}(z)+f(z_{1})\,L_{1}(z)+f(z_{2})\,L_{2}(z),
onde f(z)=e^{-z^{2}/3} e
L_{0}(z)=\frac{(z-0{,}6)(z-1)}{(0-0{,}6)(0-1)},\quad L_{1}(z)=\frac{(z-0)(z-1)}{(0{,}6-0)(0{,}6-1)},\quad L_{2}(z)=\frac{(z-0)(z-0{,}6)}{(1-0)(1-0{,}6)}.
Logo
p(z)=1\cdot L_{0}(z)+e^{-0{,}12}\cdot L_{1}(z)+e^{-\tfrac{1}{3}}\cdot L_{2}(z).

Passo 3

Integramos de 0 a 1 cada base de Lagrange. Transformando em polinômios:
L_{0}(z)=\frac{z^{2}-1{,}6z+0{,}6}{0{,}6},\quad L_{1}(z)=\frac{z^{2}-z}{-0{,}24},\quad L_{2}(z)=\frac{z^{2}-0{,}6z}{0{,}4}.
Os respectivos integrals são
\int_{0}^{1}L_{0}(z)\,dz=0{,}22222,\quad \int_{0}^{1}L_{1}(z)\,dz=0{,}69444,\quad \int_{0}^{1}L_{2}(z)\,dz=0{,}08333.

Passo 4

Aproximamos então
\int_{0}^{1}e^{-\tfrac{z^{2}}{3}}\,dz \approx 1\cdot0{,}22222 + e^{-0{,}12}\cdot0{,}69444 + e^{-\tfrac{1}{3}}\cdot0{,}08333.
Usando e^{-0{,}12}\approx0{,}8869 e e^{-\tfrac{1}{3}}\approx0{,}7165, obtemos
0{,}22222 + 0{,}69444\cdot0{,}8869 + 0{,}08333\cdot0{,}7165 \approx 0{,}897.

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente 0{,}897.

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