1^{\text {Q }} QUESTÃO (3.0 PONTOS): Resolver o sistema de equaçōes utilizando a metodologia iterativa de Gauss-jacobi para 3 iteraçōes, admitindo 3 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}-2 x_{4}=4 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=12 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1,\\\\ 3x_{1}+2x_{2}-3x_{3}-2x_{4}=4,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=12 \end{cases}
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi em três iterações, arredondando cada valor a três casas decimais. Vamos usar a forma
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr)
e adotar o palpite inicial \bigl(x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)},x_4^{(0)}\bigr)=(0,0,0,0).

Passo 2

Isolando cada variável na sua equação temos as fórmulas de iteração:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{7-2\,x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}}{2},\\\ x_{2}^{(k+1)}&=x_{1}^{(k)}+2\,x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}-1,\\\ x_{3}^{(k+1)}&=\frac{3\,x_{1}^{(k)}+2\,x_{2}^{(k)}-2\,x_{4}^{(k)}-4}{3},\\\ x_{4}^{(k+1)}&=12-4\,x_{1}^{(k)}-3\,x_{2}^{(k)}-2\,x_{3}^{(k)}. \end{aligned}

Passo 3

k=0→k=1, usando \mathbf x^{(0)}=(0,0,0,0):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{7-0-0-0}{2}=3{,}500,\\\ x_{2}^{(1)}&=0+2\cdot0-0-1=-1{,}000,\\\ x_{3}^{(1)}&=\frac{0+0-0-4}{3}=-1{,}333,\\\ x_{4}^{(1)}&=12-0-0-0=12{,}000. \end{aligned}

Passo 4

k=1→k=2, usando \mathbf x^{(1)}=(3{,}500,\,-1{,}000,\,-1{,}333,\,12{,}000):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{7-2(-1{,}000)-(-1{,}333)-12{,}000}{2}=-0{,}834,\\\ x_{2}^{(2)}&=3{,}500+2(-1{,}333)-12{,}000-1=-12{,}166,\\\ x_{3}^{(2)}&=\frac{3(3{,}500)+2(-1{,}000)-2(12{,}000)-4}{3}=-6{,}500,\\\ x_{4}^{(2)}&=12-4(3{,}500)-3(-1{,}000)-2(-1{,}333)=3{,}667. \end{aligned}

Passo 5

k=2→k=3, usando \mathbf x^{(2)}=(-0{,}834,\,-12{,}166,\,-6{,}500,\,3{,}667):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{7-2(-12{,}166)-(-6{,}500)-3{,}667}{2}=17{,}083,\\\ x_{2}^{(3)}&=-0{,}834+2(-6{,}500)-3{,}667-1=-18{,}501,\\\ x_{3}^{(3)}&=\frac{3(-0{,}834)+2(-12{,}166)-2(3{,}667)-4}{3}=-12{,}723,\\\ x_{4}^{(3)}&=12-4(-0{,}834)-3(-12{,}166)-2(-6{,}500)=64{,}834. \end{aligned}

Resposta

As aproximações após três iterações são:
x_{1}^{(3)}=17{,}083,\quad x_{2}^{(3)}=-18{,}501,\quad x_{3}^{(3)}=-12{,}723,\quad x_{4}^{(3)}=64{,}834.

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