1^{\text {Q }} QUESTÃO (3.0 PONTOS): Resolver o sistema de equaçōes utilizando a metodologia iterativa de Gauss-jacobi para 3 iteraçōes, admitindo 3 casas decimais nos resultados. \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=7 \\\ x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3}-2 x_{4}=4 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=12 \end{array}\right. Passo 1O enunciado pede para resolver o sistema \begin{cases} 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}+x_{4}=7,\\\ x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1,\\\\ 3x_{1}+2x_{2}-3x_{3}-2x_{4}=4,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=12 \end{cases} usando o método iterativo de Gauss–Jacobi em três iterações, arredondando cada valor a três casas decimais. Vamos usar a forma x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i}a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr) e adotar o palpite inicial \bigl(x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)},x_4^{(0)}\bigr)=(0,0,0,0). Passo 2Isolando cada variável na sua equação temos as fórmulas de iteração: \begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{7-2\,x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}}{2},\\\ x_{2}^{(k+1)}&=x_{1}^{(k)}+2\,x_{3}^{(k)}-x_{4}^{(k)}-1,\\\ x_{3}^{(k+1)}&=\frac{3\,x_{1}^{(k)}+2\,x_{2}^{(k)}-2\,x_{4}^{(k)}-4}{3},\\\ x_{4}^{(k+1)}&=12-4\,x_{1}^{(k)}-3\,x_{2}^{(k)}-2\,x_{3}^{(k)}. \end{aligned} Passo 3k=0→k=1, usando \mathbf x^{(0)}=(0,0,0,0): \begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{7-0-0-0}{2}=3{,}500,\\\ x_{2}^{(1)}&=0+2\cdot0-0-1=-1{,}000,\\\ x_{3}^{(1)}&=\frac{0+0-0-4}{3}=-1{,}333,\\\ x_{4}^{(1)}&=12-0-0-0=12{,}000. \end{aligned} Passo 4k=1→k=2, usando \mathbf x^{(1)}=(3{,}500,\,-1{,}000,\,-1{,}333,\,12{,}000): \begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{7-2(-1{,}000)-(-1{,}333)-12{,}000}{2}=-0{,}834,\\\ x_{2}^{(2)}&=3{,}500+2(-1{,}333)-12{,}000-1=-12{,}166,\\\ x_{3}^{(2)}&=\frac{3(3{,}500)+2(-1{,}000)-2(12{,}000)-4}{3}=-6{,}500,\\\ x_{4}^{(2)}&=12-4(3{,}500)-3(-1{,}000)-2(-1{,}333)=3{,}667. \end{aligned} Passo 5k=2→k=3, usando \mathbf x^{(2)}=(-0{,}834,\,-12{,}166,\,-6{,}500,\,3{,}667): \begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{7-2(-12{,}166)-(-6{,}500)-3{,}667}{2}=17{,}083,\\\ x_{2}^{(3)}&=-0{,}834+2(-6{,}500)-3{,}667-1=-18{,}501,\\\ x_{3}^{(3)}&=\frac{3(-0{,}834)+2(-12{,}166)-2(3{,}667)-4}{3}=-12{,}723,\\\ x_{4}^{(3)}&=12-4(-0{,}834)-3(-12{,}166)-2(-6{,}500)=64{,}834. \end{aligned} RespostaAs aproximações após três iterações são: x_{1}^{(3)}=17{,}083,\quad x_{2}^{(3)}=-18{,}501,\quad x_{3}^{(3)}=-12{,}723,\quad x_{4}^{(3)}=64{,}834. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosE1 Obtenha uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} e^{-\frac{z^{2}}{3}} d z aproximando o integrando por um polinômio de grau 2. Utilize os pontos de interpolação z=0, z=0.6 e z=1. Deseja-se calcular o valor de \sqrt[5]{9056}-\sqrt[5]{9055} no \operatorname{SPF} F=F(10,10, m, M). Sendo \bar{a} e \bar{b} os respectivos representantes de \sqrt[5]{9056} e \sqrt[5]{9055} em F, qual destas estratégias seria preferível para calcular esse valor? Ousar \bar{a}-\bar{b} com precisão precisão simples. Ousar \frac{1}{(\bar{a})^{4}+(\bar{a})^{3} \bar{b}+(\bar{a})^{2}(\bar{b})^{2}+\bar{a}(\bar{b})^{3}+(\bar{b})^{4}} com precisão simples. Ousar \frac{1}{\bar{a}+\bar{b}} com precisão dupla. Ousar \exp (\ln \bar{a} /(\varepsilon+\ln \bar{b})) com precisão simples. Ousar \bar{a}-\bar{b} com precisão precisão dupla. O valor correto da expressão em \boldsymbol{F} é \square Por favor responda todas as partes da questão. Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz. a) x-3^{-x}=0 O movimento de um corpo de massa m=0.6 \mathrm{~kg} foi observado, tendo-se anotado as velocidades v deste corpo em instantes de tempo específicos t. tempo (em segundos) 0,2 0,5 0,7 velocidade (em metros por segundo) 1,0 1,5 2,0 Deseja-se obter a energia cinética E_{c}, em Joules ( J ), deste corpo no instante de tempo t=1,6 \mathrm{~s}, onde se sabe que E_{c}=\frac{1}{2} m v^{2}. Obtenha o que se pede, utilizando uma interpolação quadrática com os dados da tabela para estimar a velocidade do corpo no exato instante de tempo em questão. Utilize a fórmula de interpolação que desejar.