Deseja-se encontrar a menor raiz real de f(x)=10,7 \cdot \operatorname{sen}(x) \cdot e^{\wedge}((-x))-1, utilizando o método da bisseção com intervalo inicial [0,05 ; 0,15]. Qual a melhor alternativa que representa o valor da raiz de f(x)=0 ao final da 3^{\text {a }} iteração?
a. 0,1039
b. 0,1089
c. 0,1064
d. 0,1125
e. 0,1107

Passo 1

O enunciado pede a menor raiz real de
f(x)=10,7\;\sin(x)\;e^{-x}-1
usando o método da bisseção em [0,05;0,15]. Em cada iteração calculamos o ponto médio, avaliamos f ali e escolhemos o subintervalo que contém a raiz. Ao fim da 3ª iteração, o valor aproximado da raiz será o último ponto médio calculado.

Passo 2

Verificamos o sinal de f nas extremidades para garantir troca de sinal:
f(0,05)\approx10,7\cdot\sin(0,05)\cdot e^{-0,05}-1 \approx10,7\cdot0,04998\cdot0,9512-1\approx-0,4914<0,
f(0,15)\approx10,7\cdot\sin(0,15)\cdot e^{-0,15}-1 \approx10,7\cdot0,1494\cdot0,8607-1\approx0,3761>0.
Como há mudança de sinal, há raiz em [0,05;0,15].

Passo 3

1ª iteração:
Ponto médio
m_1=\frac{0,05+0,15}{2}=0,10.
Avaliação
f(0,10)\approx10,7\cdot0,09983\cdot0,9048-1\approx-0,0317<0,
logo a raiz fica em [0,10;0,15].

Passo 4

2ª iteração:
Ponto médio
m_2=\frac{0,10+0,15}{2}=0,125.
Avaliação
f(0,125)\approx10,7\cdot0,1247\cdot0,8825-1\approx0,1771>0,
logo a raiz fica em [0,10;0,125].

Passo 5

3ª iteração:
Ponto médio
m_3=\frac{0,10+0,125}{2}=0,1125.
Avaliação
f(0,1125)\approx10,7\cdot0,1123\cdot0,8939-1\approx0,0732>0,
pois f(m_3)>0, o novo intervalo seria [0,10;0,1125], mas o valor aproximado da raiz nesta iteração é m_3=0,1125.

Passo 6

Comparando com as alternativas, 0,1125 corresponde à letra (d).

Resposta

(d)

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