Questão 4

Completo
Considere a função f(x)=-4 x^{4}-3 x^{2}+3 x+10. Utilizando o método da falsa posição, após 4 iterações, qual é, aproximadamente, o erro relativo encontrado?
a. 0,1227
b. 0,1793
c. 0,1802
d. 0,2839
e. 0,1786

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -4x^{4} - 3x^{2} + 3x + 10
e pede para aplicar o método da falsa posição em um intervalo onde haja troca de sinal em f, realizando 4 iterações e, ao final, calcular o erro relativo aproximado
\varepsilon_r = \left\lvert \frac{x_{4} - x_{3}}{x_{4}} \right\rvert.

Passo 2

Procuramos um intervalo [a,b] com f(a)\,f(b)<0. Calculando
f(0) = 10 > 0, \quad f(2) = -4\cdot2^{4} - 3\cdot2^{2} + 3\cdot2 + 10 = -60 < 0,
portanto escolhemos a_{0}=0, b_{0}=2.

Passo 3

A fórmula da falsa posição é
x = b - f(b)\,\frac{b - a}{f(b) - f(a)}.
Usamos essa expressão para gerar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.

Passo 4

Iteração 1:
x_{1} = 2 - (-60)\frac{2-0}{-60 - 10} = 2 - \bigl(-60\bigr)\frac{2}{-70} = 2 - \frac{-120}{-70} = 2 - 1,7143 = 0,2857.
Como f(0,2857)\approx 10,5855>0, o novo intervalo é [a_{1},b_{1}]=[0{,}2857,2].

Passo 5

Iteração 2:
x_{2} = 2 - (-60)\frac{2 - 0,2857}{-60 - 10,5855} = 2 - \frac{-60\cdot1,7143}{-70,5855} \approx 0,5432.
Como f(0,5432)\approx 10,3965>0, o novo intervalo é [a_{2},b_{2}]=[0{,}5432,2].

Passo 6

Iteração 3:
x_{3} = 2 - (-60)\frac{2 - 0,5432}{-60 - 10,3965} = 2 - \frac{-60\cdot1,4568}{-70,3965} \approx 0,7585.
Como f(0,7585)\approx 9,2248>0, o novo intervalo é [a_{3},b_{3}]=[0{,}7585,2].

Passo 7

Iteração 4:
x_{4} = 2 - (-60)\frac{2 - 0,7585}{-60 - 9,2248} = 2 - \frac{-60\cdot1,2415}{-69,2248} \approx 0,9241.
E f(0,9241)\approx 7,2938>0, mas já temos x_{3} e x_{4}.

Passo 8

Calculamos o erro relativo aproximado
\varepsilon_r = \left\lvert \frac{x_{4} - x_{3}}{x_{4}} \right\rvert = \left\lvert \frac{0,9241 - 0,7585}{0,9241} \right\rvert \approx 0,1793.

Resposta

b. 0,1793

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