Seja f(x)=x^{\wedge} 6-77. Utilizando o método de Newton, quantas iterações são utilizadas até que \left|f\left(x \_k\right)\right| seja inferior a【10】^(-1)? Suponha aproximação inicial x_0=3. Use 3 casas decimais para as aproximações.
a. 5
b. 3
c. 4
d. 6
e. 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^{6}-77
e pede para aplicar o método de Newton
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}
com aproximação inicial x_{0}=3, usando três casas decimais em cada iteração, até que \bigl|f(x_{k})\bigr|<10^{-1}.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=6x^{5}
e montamos a fórmula de Newton:
x_{k+1} = x_{k} - \frac{x_{k}^{6}-77}{6x_{k}^{5}} = \frac{5}{6}\,x_{k} + \frac{77}{6\,x_{k}^{5}}.

Passo 3

Para k=0 temos x_{0}=3. Calculamos
x_{1} = \frac{5}{6}\cdot 3 + \frac{77}{6\cdot 3^{5}} = 2{,}500 + \frac{77}{1458} \approx 2{,}5528
Arredondando a três decimais:
x_{1}=2{,}553.
Em seguida
f(x_{1}) = (2{,}553)^{6}-77 \approx 276{,}894 -77 = 199{,}894,
logo \bigl|f(x_{1})\bigr|\approx 199{,}9>0{,}1.

Passo 4

Para k=1:
x_{2} = \frac{5}{6}\cdot 2{,}553 + \frac{77}{6\cdot (2{,}553)^{5}} \approx 2{,}1275 + 0{,}1184 = 2{,}2459
x_{2}=2{,}246, \quad f(x_{2}) \approx 128{,}365-77 = 51{,}365,
logo \bigl|f(x_{2})\bigr|\approx 51{,}4>0{,}1.

Passo 5

Para k=2:
x_{3} \approx \frac{5}{6}\cdot 2{,}246 + \frac{77}{6\cdot (2{,}246)^{5}} = 1{,}8717 + 0{,}2245 = 2{,}0962
x_{3}=2{,}096, \quad f(x_{3}) \approx 84{,}789-77 = 7{,}789,
logo \bigl|f(x_{3})\bigr|\approx 7{,}8>0{,}1.

Passo 6

Para k=3:
x_{4} \approx \frac{5}{6}\cdot 2{,}096 + \frac{77}{6\cdot (2{,}096)^{5}} = 1{,}7467 + 0{,}3173 = 2{,}0640
x_{4}=2{,}064, \quad f(x_{4}) \approx 77{,}314-77 = 0{,}314,
logo \bigl|f(x_{4})\bigr|\approx 0{,}31>0{,}1.

Passo 7

Para k=4:
x_{5} \approx \frac{5}{6}\cdot 2{,}064 + \frac{77}{6\cdot (2{,}064)^{5}} = 1{,}7200 + 0{,}3427 = 2{,}0627
x_{5}=2{,}063, \quad f(x_{5}) \approx 77{,}092-77 = 0{,}092,
e portanto \bigl|f(x_{5})\bigr|\approx 0{,}092<0{,}1. É na quinta iteração que o critério é atendido.

Resposta

5

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