Fazendo uso de Taylor desenvolva:
\sqrt[5]{1,6}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt[5]{1,6}, ou seja a função
f(x)=x^{1/5}
avaliada em x=1,6. Vamos usar a série de Taylor (mais precisamente a série binomial generalizada) em torno de x_0=1.

Passo 2

Recordando a série binomial generalizada, para \alpha\in\mathbb{R} e |h|<1 vale
(1+h)^{\alpha} =\sum_{n=0}^{\infty} {\alpha\choose n}\,h^n,
onde
{\alpha\choose n} =\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Aqui \alpha=1/5 e 1+h=1,6, logo h=0,6.

Passo 3

Vamos calcular alguns coeficientes {\tfrac15\choose n} para n=0,1,2,3,4:
{\tfrac15\choose 0}=1, \qquad {\tfrac15\choose 1}=\frac15=0{,}2,
{\tfrac15\choose 2} =\frac{\tfrac15\bigl(\tfrac15-1\bigr)}{2} =\frac{\tfrac15\cdot(-\tfrac45)}{2} =-\frac{2}{25}=-0{,}08,
{\tfrac15\choose 3} =\frac{\tfrac15\bigl(\tfrac15-1\bigr)\bigl(\tfrac15-2\bigr)}{6} =\frac{1\cdot(-4)\cdot(-9)}{5^3\cdot6} =\frac{36}{125\cdot6} =\frac{6}{125}=0{,}048,
{\tfrac15\choose 4} =\frac{\tfrac15(\tfrac15-1)(\tfrac15-2)(\tfrac15-3)}{24} =-\frac{21}{625}\approx-0{,}0336.

Passo 4

Substituindo na série até a quarta ordem, temos
(1+0,6)^{1/5} \approx \sum_{n=0}^{4} {\tfrac15\choose n}\,(0,6)^n =1 +0,2\cdot0,6 -0,08\cdot0,6^2 +0,048\cdot0,6^3 -{\tfrac{21}{625}}\cdot0,6^4.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
0,2\cdot0,6=0,12,\quad 0,6^2=0,36\implies -0,08\cdot0,36=-0,0288,
0,6^3=0,216\implies 0,048\cdot0,216=0,010368, \quad 0,6^4=0,1296\implies -\frac{21}{625}\cdot0,1296\approx-0,004355.
Somando tudo:
1+0,12-0,0288+0,010368-0,004355 \approx1,097213.

Passo 6

Para melhorar a precisão poderíamos incluir termos de ordem superior, mas já com até n=4 obtemos um valor muito próximo do exato
\sqrt[5]{1,6}\approx1,0985.

Resposta

\displaystyle \sqrt[5]{1,6}\approx1,0985

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