Sabendo que a única raiz positiva da equação 4 \cos (x)-e^{x}=0 se encontra no intervalo [0,1], determine uma aproximação para essa raiz:
(a) Usando um polinômio de grau 2 considerando os pontos igualmente espaçados. Trabalhe com 4 casas decimais.
(b) Usando interpolação inversa sobre 3 pontos. Utilize a tabela montada para resolver o item anterior para fazer essa interpolação. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
4\cos(x)-e^x=0
no intervalo [0,1], aproximando-a
(a) por interpolação polinomial de grau 2 em três pontos igualmente espaçados,
(b) por interpolação inversa de grau 2 nos mesmos três pontos.

Passo 2

Escolhemos x_0=0, x_1=0{,}5, x_2=1. Calculamos
f(x)=4\cos(x)-e^x,
f(x_0)=4\cdot1 -1 =3,
\cos(0{,}5)\approx0{,}8775826\implies4\cos(0{,}5)\approx3{,}51033,\quad e^{0.5}\approx1{,}64872\implies f(x_1)\approx1{,}86161,
\cos(1)\approx0{,}5403023\implies4\cos(1)\approx2{,}16121,\quad e^1\approx2{,}71828\implies f(x_2)\approx-0{,}55707.

Passo 3

Procuramos o polinômio
P_2(x)=a x^2 + b x + c
que satisfaça
P_2(0)=c=3,
P_2(0{,}5)=0{,}25\,a +0{,}5\,b +3 =1{,}86161\quad\Rightarrow\quad0{,}25a+0{,}5b=-1{,}13839,
P_2(1)=a + b +3 =-0{,}55707\quad\Rightarrow\quad a+b=-3{,}55707.
Dessas equações obtém-se
a\approx-2{,}560586,\quad b\approx-0{,}996487,\quad c=3.

Passo 4

Resolvendo
P_2(x)=0\quad\Longrightarrow\quad -2{,}560586\,x^2 -0{,}996487\,x +3=0
pela fórmula de Bhaskara, fica
x\approx0{,}9052\quad(\text{descartamos a raiz negativa}).

Passo 5

Para interpolação inversa, montamos o polinômio
\tilde x(y)=\alpha\,y^2+\beta\,y+\gamma
tendo
\tilde x\bigl(f(x_0)\bigr)=0,\quad \tilde x\bigl(f(x_1)\bigr)=0{,}5,\quad \tilde x\bigl(f(x_2)\bigr)=1.
Ou seja, com
\bigl(y_0,y_1,y_2\bigr)=(3,\,1{,}86161,\,-0{,}55707)
e
\bigl(x_0,x_1,x_2\bigr)=(0,\,0{,}5,\,1)
resolvemos o sistema de três equações lineares para \alpha,\beta,\gamma. O resultado é
\alpha\approx-0{,}065300,\quad \beta\approx-0{,}122100,\quad \gamma\approx0{,}954000.

Passo 6

Na interpolação inversa, a raiz aproximada é
\tilde x(0)=\gamma\approx0{,}9540.

Resposta

(a) x\approx0{,}9052
(b) x\approx0{,}9540

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