(2,0) Prove que o produto de um inteiro e seu quadrado é par.

Passo 1

O enunciado pede para provar que “o produto de um inteiro e seu quadrado é par”, ou seja, que para todo n\in\mathbb{Z} temos n\cdot n^2 par. Note que n\cdot n^2 = n^3.

Passo 2

Vamos testar um contra­exemplo simples: seja n=1. Então
n^3 = 1^3 = 1,
e 1 não é número par. Portanto a afirmação “para todo inteiro n, n^3 é par” falha já em n=1.

Passo 3

Concluímos que o enunciado, como está, não pode ser verdadeiro para todo inteiro: falta a hipótese que n seja par. Com essa hipótese, o resultado é imediato, pois se n=2k então
n^3 = (2k)^3 = 8k^3 = 2\bigl(4k^3\bigr),
que é múltiplo de 2.

Resposta

O enunciado, sem a condição “ n é par”, é falso (contra­exemplo n=1). Para consertar a prova é necessário assumir que n é par, e aí n^3 é par.

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