ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os 5 primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
e, depois, escrever o termo geral de ordem usando indução simples.
Conteúdo: série de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
e, depois, escrever o termo geral de ordem
Conteúdo: série de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
O que vamos precisar:
- Saber que a derivada de
é . - Conhecer a expansão da série geométrica
para . - Integrar termo a termo para recuperar
.
Passo 2
Começamos da derivada:
Agora use a série geométrica com
:
Aqui “
^k” aparece porque a fórmula é
.
Passo 3
Para voltar a
, integramos de 0 até
termo a termo:
Fazendo a integral
, dá
Passo 4
Agora é questão de escrever os 5 primeiros termos não nulos. Basta colocar
:
- k=0:
- k=1:
- k=2:
- k=3:
- k=4:
Passo 5
Termo geral via indução simples:
Definimos
Definimos
Base (
):
, bate com o primeiro termo.
Passo indutivo: se vale para , o próximo é
Passo indutivo: se vale para
que troca o sinal (
) e aumenta o expoente em 2, exatamente o padrão que vimos.
Resposta
Primeiros 5 termos não nulos:
Termo geral (n-ésimo termo):