ESCREVA OS 5 (CINCO) PRIMEIROS TERMOS NÃO NULOS DOS DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE MACLAURIN DAS FUNÇÕES ABAIXO E POR INDUÇÃO SIMPLES ESCREVA O TERMO GERAL DE ORDEM n (n-ÉSIMO TERMO).
f(x)=arctg x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os 5 primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de

e, depois, escrever o termo geral de ordem usando indução simples.
Conteúdo: série de Taylor/Maclaurin, expansão de série geométrica e integração termo a termo.
O que vamos precisar:
  • Saber que a derivada de é .
  • Conhecer a expansão da série geométrica para .
  • Integrar termo a termo para recuperar .

Passo 2

Começamos da derivada:
f'(x)=ddxarctan x=11+x^2
Agora use a série geométrica com 11+x^2=sumk=0^infty(-1)^kl(x^2r)^k =sumk=0^infty(-1)^k x^2k :
Aqui “ ^k” aparece porque a fórmula é .

Passo 3

Para voltar a arctan x =integral0^xdt1+t^2 =integral0^xsumk=0^infty(-1)^k t^2k,dt =sumk=0^infty(-1)^kintegral0^x t^2k,dt , integramos de 0 até arctan x =sumk=0^infty(-1)^kx^2k+12k+1 termo a termo:
Fazendo a integral , dá

Passo 4

Agora é questão de escrever os 5 primeiros termos não nulos. Basta colocar :
  • k=0:
  • k=1:
  • k=2:
  • k=3:
  • k=4:

Passo 5

Termo geral via indução simples:
Definimos
an = (-1)^nx^2n+12n+1
Base ( an+1=(-1)^n+1x^2(n+1)+12(n+1)+1 ): , bate com o primeiro termo.
Passo indutivo: se vale para , o próximo é
que troca o sinal ( ) e aumenta o expoente em 2, exatamente o padrão que vimos.

Resposta

Primeiros 5 termos não nulos:
x ;-;x^33;+;x^55;-;x^77;+;x^99
Termo geral (n-ésimo termo):
(-1)^n,x^2n+12n+1, n=0,1,2,dots

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