O deslocamento vertical
de um pistão em um sistema de compressáo foi obtido experimentalmente ao longo de 10 segundos por uma equipe de engenheiros mecânicos. Os dados são mostrados na tabela a seguir:
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1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 1,7 | 1,8 | 1,9 | 2 |
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1,6483 | 1,7336 | 1,8224 | 1,9158 | 2,0134 | 2,1175 | 2,2258 | 2,3399 | 2,4598 | 2,5854 | 2,7186 |
Calcule o fluxo de calor no instante 4,5 segundos por interpolação quadrática de Lagrange ( 3 pontos) e por interpolação cúbica de Newton (4 pontos). Determine um limitante do erro para o interpolador de Newton.
Passo 1
O que o enunciado pede
A gente tem dados experimentais de um pistão: deslocamento em instantes
. Queremos estimar o “fluxo de calor” (i.e. o valor de
) num instante “4,5 s” – mas esse valor está fora do nosso intervalo de dados. Acredito que seja um typo e que queiram
s (é o ponto central entre 1,4 e 1,5 s).
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e cota de erro do interpolador de Newton.
O que vamos precisar:
• Para Lagrange: escolher 3 pontos próximos de 1,45;
• Para Newton: escolher 4 pontos em volta de 1,45 e calcular diferenças divididas;
• Para a cota de erro: fórmula geral do resto de Taylor em forma de produto .
A gente tem dados experimentais de um pistão: deslocamento
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e cota de erro do interpolador de Newton.
O que vamos precisar:
• Para Lagrange: escolher 3 pontos próximos de 1,45;
• Para Newton: escolher 4 pontos em volta de 1,45 e calcular diferenças divididas;
• Para a cota de erro: fórmula geral do resto de Taylor em forma de produto
Passo 2
Interpolação quadrática de Lagrange em
:
- Escolhemos os três nós mais próximos:
- Construímos os polinômios de base
- Avaliando em
:
- Então
Passo 3
Interpolação cúbica de Newton em
:
- Nós:
. - Diferenças divididas de primeira ordem:
- De segunda ordem:
- De terceira ordem:
- Polinômio de Newton:
- Avaliando em
:
Passo 4
Cota de erro para o interpolador de Newton (grau 3):
A fórmula do resto é
A fórmula do resto é
para algum
.
Em valor absoluto, com ,
Em valor absoluto, com
Se, por exemplo,
nunca ultrapassar 3 (valor suposto),
.
Resposta
• Interpolação de Lagrange (3 pontos):
.
• Interpolação de Newton (4 pontos): .
• Cota de erro (Newton grau 3):
• Interpolação de Newton (4 pontos):
• Cota de erro (Newton grau 3):