O deslocamento vertical y(t) de um pistão em um sistema de compressáo foi obtido experimentalmente ao longo de 10 segundos por uma equipe de engenheiros mecânicos. Os dados são mostrados na tabela a seguir:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
times Xi 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
y(ti) 1,6483 1,7336 1,8224 1,9158 2,0134 2,1175 2,2258 2,3399 2,4598 2,5854 2,7186
Calcule o fluxo de calor no instante 4,5 segundos por interpolação quadrática de Lagrange ( 3 pontos) e por interpolação cúbica de Newton (4 pontos). Determine um limitante do erro para o interpolador de Newton.

Passo 1

O que o enunciado pede
A gente tem dados experimentais de um pistão: deslocamento em instantes . Queremos estimar o “fluxo de calor” (i.e. o valor de ) num instante “4,5 s” – mas esse valor está fora do nosso intervalo de dados. Acredito que seja um typo e que queiram  s (é o ponto central entre 1,4 e 1,5 s).
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e cota de erro do interpolador de Newton.
O que vamos precisar:
• Para Lagrange: escolher 3 pontos próximos de 1,45;
• Para Newton: escolher 4 pontos em volta de 1,45 e calcular diferenças divididas;
• Para a cota de erro: fórmula geral do resto de Taylor em forma de produto .

Passo 2

Interpolação quadrática de Lagrange em (t0,y0)=(1,4,2,0134), (t1,y1)=(1,5,2,1175), (t2,y2)=(1,6,2,2258) :
  1. Escolhemos os três nós mais próximos:
L0(t)=(t-1.5)(t-1.6)(1.4-1.5)(1.4-1.6), L1(t)=(t-1.4)(t-1.6)(1.5-1.4)(1.5-1.6), L2(t)=(t-1.4)(t-1.5)(1.6-1.4)(1.6-1.5)
  1. Construímos os polinômios de base
L0(1.45)=0.375, L1(1.45)=0.75, L2(1.45)=-0.125
  1. Avaliando em y(1.45)approx 2.0134cdot0.375 +2.1175cdot0.75 +2.2258cdot(-0.125) =2.064925 :
  1. Então

Passo 3

Interpolação cúbica de Newton em f[x0,x1]=2.0134-1.91580.1=0.976, f[x1,x2]=1.040, f[x2,x3]=1.083 :
  1. Nós:
    f[x0,x1,x2]=1.040-0.9760.2=0.32, f[x1,x2,x3]=1.083-1.0400.2=0.215 .
  2. Diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =0.215-0.320.3=-0.35
  1. De segunda ordem:
P3(t)=1.9158 +0.976,(t-1.3) +0.32,(t-1.3)(t-1.4) -0.35,(t-1.3)(t-1.4)(t-1.5)
  1. De terceira ordem:
y(1.45)approx 1.9158 +0.976cdot0.15 +0.32cdot(0.15cdot0.05) -0.35cdot(0.15cdot0.05cdot(-0.05)) =2.06473 (aprox)
  1. Polinômio de Newton:
  1. Avaliando em :

Passo 4

Cota de erro para o interpolador de Newton (grau 3):
A fórmula do resto é
R3(t) =f^(4)(xi)4!,(t-1.3)(t-1.4)(t-1.5)(t-1.6),
para algum |R3(1.45)|<= M44!,|0.15cdot0.05cdot(-0.05)cdot(-0.15)| =M424cdot5,625times10^-5 approx M4cdot2,34times10^-6 .
Em valor absoluto, com ,
Se, por exemplo, nunca ultrapassar 3 (valor suposto),
.

Resposta

• Interpolação de Lagrange (3 pontos): .
• Interpolação de Newton (4 pontos): .
• Cota de erro (Newton grau 3):

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