Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade x de dias 30 60 90 120 150 180
Quantidade y de peças com defeito 856 1578 2003 3095 3918 5105
Sabendo que com 15 dias a fábrica produziu 700 peças para substituir todas que tinham defeito, calcule o erro da previsão de cada um dos polinômios interpoladores encontrados e indique qual o melhor nessa situação.

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? Ela mostra quantos defeitos acumulados a cada 30 dias nos seis primeiros meses, e diz que, aos 15 dias, foram produzidas 700 peças para substituir defeitos. A gente já montou dois (ou mais) polinômios interpoladores — por exemplo, um linear usando os dois primeiros pontos, um quadrático com os três primeiros, e até um de grau 5 com todos os seis pontos. Agora, basta:
  1. Avaliar cada polinômio em .
  2. Calcular o erro absoluto .
  3. Ver qual erro é menor: esse polinômio é o “melhor” pra esse ponto.
Conteúdo: interpolação de Lagrange (ou sistemas lineares) e cálculo de erro de previsão.

Passo 2

Interpolador linear (grau 1) usando só m = 1578 - 85660 - 30 = 72230 approx 24,07 e p1(x) = 856 + m,(x - 30) = 856 + 24,07,(x - 30) .
  • Fórmula do coeficiente angular: p1(15) = 856 + 24,07,(15 - 30) = 856 - 24,07 times 15 approx 856 - 361,05 approx 494,95
  • Equação da reta: E1 = l|,p1(15) - 700r| = |,494,95 - 700| = 205,05
  • Avaliando em :
  • Erro absoluto:

Passo 3

Interpolador quadrático (grau 2) com 900a + 30b + c = 856, 3600a + 60b + c = 1578, 8100a + 90b + c = 2003, , a approx -0,165, b approx 38,9167, c approx -163 e p2(x) = -0,165,x^2 + 38,9167,x - 163 .
  • Montamos o sistema p2(15) approx -0,165cdot225 + 38,9167cdot15 -163 approx -37,125 + 583,75 - 163 approx 383,625 achamos E2 = |,383,625 - 700| = 316,375
  • Logo
  • Em :
  • Erro absoluto:

Passo 4

Se você tivesse feito o interpolador de grau 5 (usando todos os pontos), também avaliaria E5 = |,p5(15) - 700| e calcularia
Geralmente, polinômios de grau muito alto extrapolam mal aqui e geram erro grande.

Resposta

Comparando os erros que a gente calculou:
  • Linear (grau 1):
  • Quadrático (grau 2):
  • (E o grau 5 costuma vir ainda pior por oscilar muito.)
Portanto, o polinômio linear foi o que deu menor erro na previsão para , ou seja, é o “melhor” nesse caso.

Exercícios relacionados