Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade x de dias 30 60 90 120 150 180
Quantidade y de peças com defeito 856 1578 2003 3095 3918 5105
Encontre um polinômio p3 de grau 3, escolhendo 4 pontos dados na tabela e calcule a previsão de quantidade de peças com defeito nos 15 primeiros dias.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a cada 30 dias a fábrica conta quantas peças com defeito saíram, e a gente tem estes pares (30,856),;(60,1578),;(90,2003),;(120,3095),;(150,3918),;(180,5105) nos primeiros seis meses:
O que a gente vai fazer é: “interpolar” um polinômio cúbico usando quatro desses pontos, e depois usar esse polinômio pra prever quantas peças com defeito aparecem nos primeiros 15 dias ( ).
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange. Vamos precisar da fórmula dos polinômios base de Lagrange e depois avaliar em .

Passo 2

Escolhemos quatro pontos (por exemplo os de Li(x)=prodjneq ix - xjxi - xj, ) e montamos o polinômio de Lagrange:
Para cada ponto p3(x)=sumi=0^3 yi,Li(x) , definimos
(x0,y0)=(30,856),; (x1,y1)=(60,1578),; (x2,y2)=(120,3095),; (x3,y3)=(180,5105)
e então
No nosso caso:

Passo 3

Calcular cada L0(x) =(x-60)(x-120)(x-180) (30-60)(30-120)(30-180) =-(x-60)(x-120)(x-180)405000 :
  1. L1(x) =(x-30)(x-120)(x-180) (60-30)(60-120)(60-180) =(x-30)(x-120)(x-180)216000 para L2(x) =-(x-30)(x-60)(x-180)324000 :
L3(x) =(x-30)(x-60)(x-120)1080000
  1. p3(x) =856,L0(x)+1578,L1(x)+3095,L2(x)+5105,L3(x) para :
  1. para :
  1. para :
Logo,

Passo 4

Agora, para prever nos 15 primeiros dias, basta colocar L0(15)&approx 1.925, L1(15)&approx -1.203, L2(15)&approx 0.34375, L3(15)&approx -0.065625 :
p3(15) &=856cdot1.925+1578cdot(-1.203)+3095cdot0.34375+5105cdot(-0.065625) &approx 1647.8 ;-;1898.3;+;1063.9;-;335.0 &approx 478.4
Então

Resposta

A previsão de peças com defeito nos primeiros 15 dias é cerca de 478 peças.

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