Determinar, pelo método da secante, uma raiz de cada uma das equações:
ln x-cos x=0,
com precisão varepsilon=10^-2.

Passo 1

Então, o problema é achar uma raiz da equação
ln x - cos x = 0
usando o método da secante, com precisão .
Conteúdo: métodos numéricos – método da secante.
O que precisamos:
  1. Definir a função .
  2. Escolher dois palpites iniciais e .
  3. Iterar pela fórmula da secante até que .

Passo 2

Primeiro, vamos achar dois pontos onde f(1) = ln 1 - cos 1 = 0 - 0,5403 = -0,5403 muda de sinal, pra ter certeza que tem raiz entre eles.
  • Em f(2) = ln 2 - cos 2 = 0,6931 - (-0,4161) = 1,1093 :
  • Em :
Como e , há raiz entre 1 e 2. Aí escolhemos e .

Passo 3

Agora, o método da secante usa a fórmula
xn+1 ;=; xn ;-; f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Isso é tipo aproximar a função por uma reta entre x2 = 2 ;-; 1,1093;2-11,1093 - (-0,5403) = 2 - 1,10931,6496 approx 1,3274 e f(1,3274) = ln(1,3274) - cos(1,3274) approx 0,2830 - 0,2423 = 0,0407 e achar onde ela cruza o eixo .
Calculando a primeira iteração ( gera ):
E o valor da função em :

Passo 4

Segunda iteração ( x3 = 1,3274 - 0,0407;1,3274-20,0407 - 1,1093 = 1,3274 - -0,0274-1,0686 approx 1,3018 gera f(1,3018) approx ln(1,3018) - cos(1,3018) approx 0,2633 - 0,2664 = -0,0031 ):
E

Passo 5

Terceira iteração ( x4 = 1,3018 - (-0,0031);1,3018-1,3274-0,0031 - 0,0407 = 1,3018 - 0,000079-0,0438 approx 1,3036 gera lvert x4 - x3rvert = lvert 1,3036 - 1,3018rvert = 0,0018 < 0,01 ):
Agora olhamos a diferença
Isso já está dentro da precisão , então paramos por aqui.

Resposta

Uma aproximação da raiz de boxedx approx 1,30 pelo método da secante, com , é

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