Determinar, pelo método da secante, uma raiz de cada uma das equações:
,
com precisão
.
com precisão
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: queremos determinar, pelo método da secante, uma raiz da equação
com precisão
. Informações relevantes que o enunciado dá:
deve satisfazer a equação acima; a função envolve exponencial decrescente
e logaritmo natural
, portanto o domínio é
. A pergunta é: encontrar um valor de
que satisfaça a equação com precisão
usando o método da secante.
Passo 2
O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar. O método da secante aproxima a raiz de uma função
usando duas aproximações iniciais
e
e traçando a reta secante que passa por
e
. A interseção dessa reta com o eixo
dá a próxima aproximação
. A fórmula iterativa é
Explicando as variáveis:
e
são as duas últimas aproximações;
e
são os valores da função nessas aproximações;
é a nova aproximação calculada pela interseção da secante com o eixo
. Critério de parada que usaremos: parar quando
(diferença entre duas iterações consecutivas menor que a precisão exigida).
Agora escolha das aproximações iniciais. Definimos
. Calculamos sinais em pontos simples para localizar a raiz dentro de um intervalo:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Portanto escolhemos as aproximações iniciais
Passo 3
Calculamos os valores iniciais com mais cuidado:
Mantemos essas aproximações numéricas para usar na fórmula da secante.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
usando
e
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calcule o denominador:
. Logo
Agora calculamos
:
(Simplificando:
e
foram avaliados numericamente; os valores dados são aproximações suficientes para as iterações.)
Passo 5
Segunda iteração: usamos
e
(ou, equivalentemente,
— aqui a ordem não altera se mantivermos a fórmula consistentemente; vamos usar sempre as duas últimas aproximações na ordem crescente de índice).
Aplicando a fórmula com e seus
-valores
:
Aplicando a fórmula com
Calcule o denominador de fração de
:
. O numerador do quociente (produto) é
aproximadamente. Então
e
Agora avaliamos
:
Passo 6
Terceira iteração: usamos
e
com
e
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calcule o denominador de
:
. O produto no numerador é
aproximadamente. Assim
e
Avaliação de
:
Passo 7
Quarta iteração e verificação do critério de parada. Usamos
e
com
e
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Calcule o denominador de
:
. O numerador do produto é
. Então
e
Agora verificamos a diferença entre as duas últimas aproximações:
Portanto o critério de parada
foi satisfeito quando obtivemos
. Podemos aceitar
como aproximação da raiz com a precisão exigida.