Determinar, pelo método da secante, uma raiz de cada uma das equações:
e^{-x}-\ln x=0,
com precisão \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: queremos determinar, pelo método da secante, uma raiz da equação
e^{-x}-\ln x = 0
com precisão \varepsilon = 10^{-2}. Informações relevantes que o enunciado dá:
\;x deve satisfazer a equação acima; a função envolve exponencial decrescente e^{-x} e logaritmo natural \ln x, portanto o domínio é x>0. A pergunta é: encontrar um valor de x>0 que satisfaça a equação com precisão \varepsilon=10^{-2} usando o método da secante.

Passo 2

O que é o método da secante e a fórmula que vamos usar. O método da secante aproxima a raiz de uma função f(x) usando duas aproximações iniciais x_{0} e x_{1} e traçando a reta secante que passa por \big(x_{0},f(x_{0})\big) e \big(x_{1},f(x_{1})\big). A interseção dessa reta com o eixo x dá a próxima aproximação x_{2}. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Explicando as variáveis: x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações; f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nessas aproximações; x_{n+1} é a nova aproximação calculada pela interseção da secante com o eixo x. Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon (diferença entre duas iterações consecutivas menor que a precisão exigida).
Agora escolha das aproximações iniciais. Definimos f(x)=e^{-x}-\ln x. Calculamos sinais em pontos simples para localizar a raiz dentro de um intervalo:
f(1)=e^{-1}-\ln 1 = \frac{1}{e}-0 \approx 0,3678794412>0,
f(2)=e^{-2}-\ln 2 \approx 0,1353352832-0,6931471806 \approx -0,5578118974<0.
Como f(1)>0 e f(2)<0, existe pelo menos uma raiz em (1,2). Portanto escolhemos as aproximações iniciais
x_{0}=1,\qquad x_{1}=2.

Passo 3

Calculamos os valores iniciais com mais cuidado:
f(1)=e^{-1}-\ln 1 = 0,3678794412,
f(2)=e^{-2}-\ln 2 \approx -0,5578118974.
Mantemos essas aproximações numéricas para usar na fórmula da secante.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_{2} usando x_{0}=1 e x_{1}=2.
Aplicando a fórmula:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =2-\frac{-0,5578118974}{-0,5578118974-0,3678794412}.
Calcule o denominador: -0,5578118974-0,3678794412=-0,9256913386. Logo
x_{2}=2-\frac{-0,5578118974}{-0,9256913386}=2-\frac{0,5578118974}{0,9256913386}\approx 2-0,6021851\approx 1,3978149.
Agora calculamos f(x_{2}):
f(1,3978149)=e^{-1,3978149}-\ln(1,3978149)\approx 0,2471411-0,3349111\approx -0,0877700.
(Simplificando: e^{-1,3978149} e \ln(1,3978149) foram avaliados numericamente; os valores dados são aproximações suficientes para as iterações.)

Passo 5

Segunda iteração: usamos x_{1}=2 e x_{2}\approx 1,3978149 (ou, equivalentemente, x_{n-1}=1,3978149,\;x_{n}=2 — aqui a ordem não altera se mantivermos a fórmula consistentemente; vamos usar sempre as duas últimas aproximações na ordem crescente de índice).
Aplicando a fórmula com x_{n-1}=1,3978149,\;x_{n}=2 e seus f-valores f(x_{n-1})\approx -0,0877700,\;f(x_{n})\approx -0,5578118974:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} =1,3978149-\frac{-0,0877700}{-0,0877700-(-0,5578118974)}(1,3978149-2).
Calcule o denominador de fração de f: -0,0877700-(-0,5578118974)=0,4700418974. O numerador do quociente (produto) é -0,0877700\cdot(-0,6021851)=0,052829 aproximadamente. Então
\frac{0,052829}{0,4700418974}\approx 0,1123950,
e
x_{3}\approx 1,3978149-0,1123950\approx 1,2854199.
Agora avaliamos f(x_{3}):
f(1,2854199)=e^{-1,2854199}-\ln(1,2854199)\approx 0,2765068-0,2512808\approx 0,0252260.

Passo 6

Terceira iteração: usamos x_{2}\approx 1,3978149 e x_{3}\approx 1,2854199 com f(x_{2})\approx -0,0877700 e f(x_{3})\approx 0,0252260.
Aplicando a fórmula:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})} =1,2854199-\frac{0,0252260}{0,0252260-(-0,0877700)}(1,2854199-1,3978149).
Calcule o denominador de f: 0,0252260-(-0,0877700)=0,1129960. O produto no numerador é 0,0252260\cdot(-0,1123950)=-0,002833 aproximadamente. Assim
\frac{-0,002833}{0,1129960}\approx -0,0250,
e
x_{4}\approx 1,2854199-(-0,0250)\approx 1,3104199\\ (\text{aprox. }1,31037 \text{ com arred. consistente}).
Avaliação de f(x_{4}):
f(1,31037)=e^{-1,31037}-\ln(1,31037)\approx 0,2696000-0,2707810\approx -0,0011810.

Passo 7

Quarta iteração e verificação do critério de parada. Usamos x_{3}\approx 1,2854199 e x_{4}\approx 1,31037 com f(x_{3})\approx 0,0252260 e f(x_{4})\approx -0,0011810.
Aplicando a fórmula:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})} =1,31037-\frac{-0,0011810}{-0,0011810-0,0252260}(1,31037-1,2854199).
Calcule o denominador de f: -0,0011810-0,0252260=-0,0264070. O numerador do produto é -0,0011810\cdot 0,02495\approx -0,0000295. Então
\frac{-0,0000295}{-0,0264070}\approx 0,001118,
e
x_{5}\approx 1,31037-0,001118\approx 1,309252.
Agora verificamos a diferença entre as duas últimas aproximações:
|x_{5}-x_{4}|\approx |1,309252-1,31037|\approx 0,001118<\varepsilon=0,01.
Portanto o critério de parada |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-2} foi satisfeito quando obtivemos x_{5}. Podemos aceitar x_{5} como aproximação da raiz com a precisão exigida.

Resposta

x \approx 1,309

Exercícios relacionados