Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
f(x)=e^{2 x}-2 x^{3}-5;

Passo 1

O que o problema pede: determinar uma raiz da função
f(x)=e^{2x}-2x^{3}-5
com precisão de duas casas decimais.
Informações dadas e relevantes: a função f está explícita; precisamos encontrar um número x tal que f(x)=0 e apresentar esse x com duas casas decimais (ou seja, uma aproximação cujo erro seja compatível com “duas casas decimais”).

Passo 2

O método pedido: bissecção (vou explicar passo a passo). Ideia do método (aula rápida e prática): suponha que você tem um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em [a,b]. O método da bissecção procede assim:
  1. Calcule o ponto médio \displaystyle c=\frac{a+b}{2}.
  2. Avalie f\text{(c)}.
  3. Se f\text{(c)}=0 pare (achou raiz exata). Se f\text{(c)} tiver o mesmo sinal de f(a), então substitua a por c (a nova faixa é [c,b]); caso contrário, substitua b por c (nova faixa [a,c]).
  4. Repita até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
Fórmulas e definição das variáveis:
c=\frac{a+b}{2},
\text{se } f(a)\cdot f\text{(c)}<0 \text{ então a raiz está em } [a,c], \text{ senão está em } [c,b].ãáãá
Critério de parada para “duas casas decimais”: queremos uma aproximação cujo erro absoluto seja menor que 0,005 (assim a arredondamento para duas casas decimais ficará garantido). Como a bissecção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, paramos quando o raio do intervalo \frac{b-a}{2}\le 0,005. Nesse momento tomamos a aproximação como o ponto médio c e arredondamos com duas casas.

Passo 3

Procurar um intervalo inicial [a,b] com mudança de sinal (sem pular etapas, com contas):
Calcule f(0) e f(1):
f(0)=e^{0}-2\cdot 0^{3}-5=1-0-5=-4.
f(1)=e^{2}-2\cdot 1^{3}-5=e^{2}-7\approx 7,389056-7=0,389056\\ (\text{positivo}).
Como f(0)=-4<0 e f(1)\approx 0,389056>0, existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Tomamos [a_{0},b_{0}]=[0,1].

Passo 4

Iteração 1:
c_{1}=\frac{0+1}{2}=0,5.
Calcule f(0,5)=e^{1}-2(0,5)^{3}-5=e^{1}-0,25-5.
Sabendo e^{1}\approx 2,718282,
f(0,5)\approx 2,718282-5,25=-2,531718\\ (<0).
Sinal de f(0,5) é negativo, então a raiz está em [0,5,\,1]. Novo intervalo: [a_{1},b_{1}]=[0{,}5,\,1].

Passo 5

Iteração 2:
c_{2}=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
Calcule f(0,75)=e^{1{,}5}-2(0{,}75)^{3}-5.
Sabendo e^{1{,}5}\approx 4,481689 e (0{,}75)^{3}=0{,}421875,
f(0,75)\approx 4,481689-2\cdot 0,421875-5=4,481689-0,843750-5=-1,362061\\ (<0).
Sinal negativo; novo intervalo [0{,}75,\,1].

Passo 6

Iteração 3:
c_{3}=\frac{0{,}75+1}{2}=0{,}875.
Calcule f(0,875)=e^{1{,}75}-2(0{,}875)^{3}-5.
Sabendo e^{1{,}75}\approx 5,753 (aprox.) e (0{,}875)^{3}=0{,}669921875,
f(0,875)\approx 5,753-2\cdot 0,669921875-5=5,753-1,33984375-5=-0,586844\\ (<0).
Ainda negativo; novo intervalo [0{,}875,\,1].

Passo 7

Iteração 4:
c_{4}=\frac{0{,}875+1}{2}=0{,}9375.
Calcule f(0,9375)=e^{1{,}875}-2(0{,}9375)^{3}-5.
Usando e^{1{,}875}\approx 6,520186 (aprox.) e (0{,}9375)^{3}\approx 0{,}823974609375,
f(0,9375)\approx 6,520186-2\cdot 0,823974609375-5=6,520186-1,64794921875-5\approx -0,127763\\ (<0).
Negativo; novo intervalo [0{,}9375,\,1].

Passo 8

Iteração 5:
c_{5}=\frac{0{,}9375+1}{2}=0{,}96875.
Calcule f(0,96875)=e^{1{,}9375}-2(0{,}96875)^{3}-5.
Usando e^{1{,}9375}\approx 6,93749 (aprox.) e (0{,}96875)^{3}=0{,}9094944,
f(0,96875)\approx 6,93749-2\cdot 0,9094944-5=6,93749-1,8189888-5\approx 0,118501\\ (>0).
Agora positivo; portanto a raiz está em [0{,}9375,\,0{,}96875].

Passo 9

Iteração 6:
c_{6}=\frac{0{,}9375+0{,}96875}{2}=0{,}953125.
Calcule f(0,953125)=e^{1{,}90625}-2(0{,}953125)^{3}-5.
Usando e^{1{,}90625}\approx 6,727156 (aprox.) e (0{,}953125)^{3}=\frac{61^{3}}{64^{3}}\approx 0{,}8664197,
f(0,953125)\approx 6,727156-2\cdot 0,8664197-5=6,727156-1,7328394-5\approx -0,0056834\\ (<0).
Negativo (muito próximo de zero); novo intervalo [0{,}953125,\,0{,}96875].

Passo 10

Iteração 7:
c_{7}=\frac{0{,}953125+0{,}96875}{2}=0{,}9609375.
Calcule f(0,9609375)=e^{1{,}921875}-2(0{,}9609375)^{3}-5.
Usando e^{1{,}921875}\approx 6,833157 (aprox.) e (0{,}9609375)^{3}\approx 0{,}887326,
f(0,9609375)\approx 6,833157-2\cdot 0,887326-5=6,833157-1,774652-5\approx 0,058505\\ (>0).
Positivo; assim a raiz está em [0{,}953125,\,0{,}9609375].

Passo 11

Iteração 8:
c_{8}=\frac{0{,}953125+0{,}9609375}{2}=0{,}95703125.
Calcule f(0,95703125)=e^{1{,}9140625}-2(0{,}95703125)^{3}-5.
Usando e^{1{,}9140625}\approx 6,779474 (aprox.) e (0{,}95703125)^{3}\approx 0{,}877354,
f(0,95703125)\approx 6,779474-2\cdot 0,877354-5=6,779474-1,754708-5\approx 0,024766\\ (>0).
Positivo; portanto a raiz está em [0{,}953125,\,0{,}95703125].
Verificação do critério de parada: o comprimento do último intervalo é
b_{8}-a_{8}=0{,}95703125-0{,}953125=0{,}00390625.
O raio é \dfrac{b_{8}-a_{8}}{2}=0{,}001953125\le 0{,}005. Portanto a aproximação obtida pelo ponto médio tem erro absoluto menor que 0{,}005, suficiente para garantir precisão de duas casas decimais.
A aproximação final (ponto médio do último intervalo) é
c=\frac{0{,}953125+0{,}95703125}{2}=0{,}955078125.
Arredondando para duas casas decimais obtemos 0{,}96 (já que a terceira casa é 5, arredonda-se para cima).

Resposta

0{,}96

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