Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
;
Passo 1
O que o problema pede: determinar uma raiz da função
com precisão de duas casas decimais.
Informações dadas e relevantes: a função está explícita; precisamos encontrar um número
tal que
e apresentar esse
com duas casas decimais (ou seja, uma aproximação cujo erro seja compatível com “duas casas decimais”).
Informações dadas e relevantes: a função
Passo 2
O método pedido: bissecção (vou explicar passo a passo). Ideia do método (aula rápida e prática): suponha que você tem um intervalo
tal que
e
têm sinais opostos (ou seja,
). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
. O método da bissecção procede assim:
- Calcule o ponto médio
. - Avalie
. - Se
pare (achou raiz exata). Se tiver o mesmo sinal de , então substitua por (a nova faixa é ); caso contrário, substitua por (nova faixa ). - Repita até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
Fórmulas e definição das variáveis:
Critério de parada para “duas casas decimais”: queremos uma aproximação cujo erro absoluto seja menor que
(assim a arredondamento para duas casas decimais ficará garantido). Como a bissecção reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração, paramos quando o raio do intervalo
. Nesse momento tomamos a aproximação como o ponto médio
e arredondamos com duas casas.
Passo 3
Procurar um intervalo inicial
com mudança de sinal (sem pular etapas, com contas):
Calcule e
:
Calcule
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Tomamos
.
Passo 4
Iteração 1:
Calcule
.
Sabendo ,
Sabendo
Sinal de
é negativo, então a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 2:
Calcule
.
Sabendo e
,
Sabendo
Sinal negativo; novo intervalo
.
Passo 6
Iteração 3:
Calcule
.
Sabendo (aprox.) e
,
Sabendo
Ainda negativo; novo intervalo
.
Passo 7
Iteração 4:
Calcule
.
Usando (aprox.) e
,
Usando
Negativo; novo intervalo
.
Passo 8
Iteração 5:
Calcule
.
Usando (aprox.) e
,
Usando
Agora positivo; portanto a raiz está em
.
Passo 9
Iteração 6:
Calcule
.
Usando (aprox.) e
,
Usando
Negativo (muito próximo de zero); novo intervalo
.
Passo 10
Iteração 7:
Calcule
.
Usando (aprox.) e
,
Usando
Positivo; assim a raiz está em
.
Passo 11
Iteração 8:
Calcule
.
Usando (aprox.) e
,
Usando
Positivo; portanto a raiz está em
.
Verificação do critério de parada: o comprimento do último intervalo é
O raio é
. Portanto a aproximação obtida pelo ponto médio tem erro absoluto menor que
, suficiente para garantir precisão de duas casas decimais.
A aproximação final (ponto médio do último intervalo) é
Arredondando para duas casas decimais obtemos
(já que a terceira casa é
, arredonda-se para cima).