Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos pontos da tabela abaixo:
0
-1
4
1
0
1
2
2
1
3
3
16
|
|
|
0 | -1 | 4 |
1 | 0 | 1 |
2 | 2 | 1 |
3 | 3 | 16 |
Passo 1
Então, a gente tem uma tabela com alguns pontos
e precisamos encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para esses pontos. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial na matemática. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Lagrange, que ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por todos esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o polinômio de Lagrange. Ele é dado por:
onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Aqui,
é o número de pontos menos um. No nosso caso, temos 4 pontos, então
.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
e
da tabela:
Então, os pontos são:
,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio
substituindo
e
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 7
Agora, multiplicamos e simplificamos cada termo:
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando os termos semelhantes:
Somando os coeficientes:
Então:
Resposta
O polinômio interpolador de Lagrange para os pontos dados é: