Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos pontos da tabela abaixo:
|c|c|c| hline$i$ & $xi$ & $yi$ hline 0 & -1 & 4 hline 1 & 0 & 1 hline 2 & 2 & 1 hline 3 & 3 & 16 hline
0 -1 4
1 0 1
2 2 1
3 3 16

Passo 1

Então, a gente tem uma tabela com alguns pontos (xi, yi) e precisamos encontrar o polinômio interpolador de Lagrange para esses pontos. Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial na matemática. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Lagrange, que ajuda a construir um polinômio que passa exatamente por todos esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o polinômio de Lagrange. Ele é dado por:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)
onde Li(x) são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Aqui, n é o número de pontos menos um. No nosso caso, temos 4 pontos, então n = 3.

Passo 3

Vamos identificar os valores de xi e yi da tabela:
|c|c|c| hline i & xi & yi hline 0 & -1 & 4 hline 1 & 0 & 1 hline 2 & 2 & 1 hline 3 & 3 & 16 hline
Então, os pontos são: (-1, 4), (0, 1), (2, 1) e (3, 16).

Passo 4

Agora, vamos calcular cada Li(x).
Para L0(x):
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) = (x - 0)(x - 2)(x - 3)(-1 - 0)(-1 - 2)(-1 - 3) = x(x - 2)(x - 3)(-1)(-3)(-4) = x(x - 2)(x - 3)-12
Para L1(x):
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(0 + 1)(0 - 2)(0 - 3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)1 cdot (-2) cdot (-3) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)6
Para L2(x):
L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) = (x + 1)(x - 0)(x - 3)(2 + 1)(2 - 0)(2 - 3) = (x + 1)x(x - 3)3 cdot 2 cdot (-1) = (x + 1)x(x - 3)-6
Para L3(x):
L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) = (x + 1)(x - 0)(x - 2)(3 + 1)(3 - 0)(3 - 2) = (x + 1)x(x - 2)4 cdot 3 cdot 1 = (x + 1)x(x - 2)12

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio P(x) substituindo Li(x) e yi:
P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x)
Substituindo os valores:
P(x) = 4 cdot (x(x - 2)(x - 3)-12) + 1 cdot ((x + 1)(x - 2)(x - 3)6) + 1 cdot ((x + 1)x(x - 3)-6) + 16 cdot ((x + 1)x(x - 2)12)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
P(x) = 4x(x - 2)(x - 3)-12 + (x + 1)(x - 2)(x - 3)6 + (x + 1)x(x - 3)-6 + 16(x + 1)x(x - 2)12
Simplificando os coeficientes:
P(x) = -x(x - 2)(x - 3)3 + (x + 1)(x - 2)(x - 3)6 - (x + 1)x(x - 3)6 + 4(x + 1)x(x - 2)3

Passo 7

Agora, multiplicamos e simplificamos cada termo:
-x(x^2 - 5x + 6)3 = -x^3 - 5x^2 + 6x3 = -x^33 + 5x^23 - 2x
(x + 1)(x^2 - 5x + 6)6 = x^3 - 4x^2 + x + 66
-(x + 1)x(x - 3)6 = -x^3 - 2x^2 - 3x6
4(x + 1)x(x - 2)3 = 4x^3 - 12x^2 + 8x3
Agora, somamos todos os termos:
P(x) = (-x^33 + 5x^23 - 2x) + (x^3 - 4x^2 + x + 66) + (-x^3 - 2x^2 - 3x6) + (4x^3 - 12x^2 + 8x3)
Simplificando os termos semelhantes:
P(x) = -2x^3 + 10x^2 - 12x6 + x^3 - 4x^2 + x + 66 + -x^3 + 2x^2 + 3x6 + 8x^3 - 24x^2 + 16x6
P(x) = (-2x^3 + 10x^2 - 12x) + (x^3 - 4x^2 + x + 6) + (-x^3 + 2x^2 + 3x) + (8x^3 - 24x^2 + 16x)6
Somando os coeficientes:
(-2x^3 + x^3 - x^3 + 8x^3) = 6x^3
(10x^2 - 4x^2 + 2x^2 - 24x^2) = -16x^2
(-12x + x + 3x + 16x) = 8x
+ 6
Então:
P(x) = 6x^3 - 16x^2 + 8x + 66 = x^3 - 83x^2 + 43x + 1

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange para os pontos dados é:
P(x) = x^3 - 83x^2 + 43x + 1

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