Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
8 x-13 y=23

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear
8x-13y=23.
Informações dadas:
\text{coeficientes: }8\text{ (multiplicando }x\text{) e }-13\text{ (multiplicando }y\text{)},\qquad \text{termo independente }23.
Queremos todos os pares (x,y) com x e y inteiros e positivos que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Teoria essencial (explicada com calma):
Uma equação linear diofantina do tipo ax+by=c tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum d=\gcd(a,b) divide c. Se existe uma solução particular (x_0,y_0), então todas as soluções inteiras são dadas por
x = x_0 + \frac{b}{d}t,\qquad y = y_0 - \frac{a}{d}t,
para todo inteiro t. Aqui a=8 e b=-13 (porque a equação é 8x+(-13)y=23). Antes de parametrizar, precisamos de uma solução particular; para isso usamos o algoritmo de Euclides estendido para escrever o \gcd como combinação linear de 8 e 13.

Passo 3

Calcular \gcd(8,13) e expressá-lo como combinação linear (passo-a-passo do Algoritmo de Euclides e retro-substituição):
13 = 8\cdot1 + 5,
8 = 5\cdot1 + 3,
5 = 3\cdot1 + 2,
3 = 2\cdot1 + 1,
2 = 1\cdot2 + 0.
Portanto \gcd(8,13)=1. Agora retro-substituímos para escrever 1 como combinação de 8 e 13:
1 = 3 - 2\cdot1.
Mas 2 = 5-3, então
1 = 3 - (5-3) = 2\cdot3 -5.
E 3 = 8-5, logo
1 = 2(8-5) -5 = 2\cdot8 -3\cdot5.
E 5 = 13-8, então
1 = 2\cdot8 -3(13-8) = 2\cdot8 -3\cdot13 +3\cdot8 =5\cdot8 -3\cdot13.
Assim encontramos explicitamente
5\cdot8 -3\cdot13 = 1.
Isto é útil: multiplica-se por 23 para obter uma solução da equação original.

Passo 4

Obter uma solução particular multiplicando a combinação anterior por 23:
23 = 23\cdot 1 = 23(5\cdot8 -3\cdot13) = 8\cdot(23\cdot5) -13\cdot(23\cdot3).
Logo uma solução particular é
x_0 = 23\cdot5 = 115,\qquad y_0 = 23\cdot3 = 69.
Verificação rápida: 8\cdot115 -13\cdot69 = 920 -897 = 23.

Passo 5

Escrever a solução geral inteira usando a fórmula do Passo 2. Aqui d=\gcd(8,-13)=1. Assim, para todo inteiro t,
x = x_0 + \frac{b}{d}t = 115 + (-13)t = 115 -13t,
y = y_0 - \frac{a}{d}t = 69 - 8t.
Podemos verificar que qualquer par dessa forma satisfaz a equação, porque ao substituir os termos os termos em t se cancelam:
8(115-13t)-13(69-8t)=8\cdot115-13\cdot69=23.

Passo 6

Impor a condição de positividade x>0 e y>0 e encontrar o conjunto de t que atende:
De x=115-13t>0 temos
115-13t>0 \implies 13t<115 \implies t<\frac{115}{13}\approx 8,846\ldots
Como t é inteiro, isso dá t\le 8.
De y=69-8t>0 temos
69-8t>0 \implies 8t<69 \implies t<\frac{69}{8}=8,625,
portanto t\le 8 também. Não há restrição inferior (se t for muito negativo, ambos x e y ficam ainda maiores e positivos). Logo todos os inteiros t tais que t\le 8 geram soluções inteiras positivas.

Passo 7

É mais bonito reparametrizar para obter um parâmetro não-negativo. Defina s=8-t. Como t\le 8 e t inteiro, temos s\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Substituindo t=8-s em x e y:
x = 115 -13(8-s) = 115 -104 +13s = 11 +13s,
y = 69 -8(8-s) = 69 -64 +8s = 5 +8s.
Portanto todas as soluções inteiras e positivas podem ser escritas como
(x,y) = (11 +13s,\; 5 +8s),
com s\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Verificação para alguns valores: s=0\Rightarrow(x,y)=(11,5) e 8\cdot11-13\cdot5=88-65=23; s=1\Rightarrow(x,y)=(24,13) e 8\cdot24-13\cdot13=192-169=23. Cada incremento de s aumenta x em 13 e y em 8, conforme a estrutura da solução geral.

Resposta

(x,y)=(11+13s,\;5+8s),\; s\in\mathbb{Z}_{\ge 0}

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