Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares:
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções inteiras e positivas da equação diofantina linear
Informações dadas:
Queremos todos os pares
com
e
inteiros e positivos que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Teoria essencial (explicada com calma):
Uma equação linear diofantina do tipo tem solução inteira se, e somente se, o máximo divisor comum
divide
. Se existe uma solução particular
, então todas as soluções inteiras são dadas por
Uma equação linear diofantina do tipo
para todo inteiro
. Aqui
e
(porque a equação é
). Antes de parametrizar, precisamos de uma solução particular; para isso usamos o algoritmo de Euclides estendido para escrever o
como combinação linear de
e
.
Passo 3
Calcular
e expressá-lo como combinação linear (passo-a-passo do Algoritmo de Euclides e retro-substituição):
Portanto
. Agora retro-substituímos para escrever
como combinação de
e
:
Mas
, então
E
, logo
E
, então
Assim encontramos explicitamente
Isto é útil: multiplica-se por
para obter uma solução da equação original.
Passo 4
Obter uma solução particular multiplicando a combinação anterior por
:
Logo uma solução particular é
Verificação rápida:
.
Passo 5
Escrever a solução geral inteira usando a fórmula do Passo 2. Aqui
. Assim, para todo inteiro
,
Podemos verificar que qualquer par dessa forma satisfaz a equação, porque ao substituir os termos os termos em
se cancelam:
Passo 6
Impor a condição de positividade
e
e encontrar o conjunto de
que atende:
De temos
De
Como
é inteiro, isso dá
.
De temos
De
portanto
também. Não há restrição inferior (se
for muito negativo, ambos
e
ficam ainda maiores e positivos). Logo todos os inteiros
tais que
geram soluções inteiras positivas.
Passo 7
É mais bonito reparametrizar para obter um parâmetro não-negativo. Defina
. Como
e
inteiro, temos
. Substituindo
em
e
:
Portanto todas as soluções inteiras e positivas podem ser escritas como
com
. Verificação para alguns valores:
e
;
e
. Cada incremento de
aumenta
em
e
em
, conforme a estrutura da solução geral.