Determinar o valor aproximado de f(0,2) pela aplicação da interpolação quadrática, segundo a tabela: (utilize 2 casas decimais por truncamento)
X f(x)
0,5 0,25
0,3 0,49
0,1 0,81
a) Método de Vandermonde

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o valor de f(0,2) usando interpolação quadrática e especifica o método: Método de Vandermonde.
Peguei os dados da tabela (valores fornecidos no enunciado):
\begin{array}{ll} x_1=0,5,& f(x_1)=0,25,\\[4pt] x_2=0,3,& f(x_2)=0,49,\\[4pt] x_3=0,1,& f(x_3)=0,81. \end{array}
Objetivo explícito: construir o polinômio quadrático interpolador p(x) que passa por esses três pontos usando a matriz de Vandermonde e então calcular p(0,2). Vou mostrar passo a passo como montar e resolver o sistema linear e como avaliar o polinômio.]

Passo 2

Modelo do polinômio quadrático: suponha
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2,
onde a_0,a_1,a_2 são os coeficientes desconhecidos. Para cada par (x_i,f(x_i)) temos uma equação linear:
a_0 + a_1 x_i + a_2 x_i^2 = f(x_i).
Com os três pontos vamos ter um sistema de 3 equações e 3 incógnitas. A matriz que aparece é a chamada matriz de Vandermonde:
\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\[4pt] 1 & x_2 & x_2^2\\[4pt] 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0\\[4pt] a_1\\[4pt] a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}f(x_1)\\[4pt] f(x_2)\\[4pt] f(x_3)\end{pmatrix}.
Vou montar explicitamente esse sistema com os valores que peguei da tabela.]

Passo 3

Substituindo x_1=0,5, x_2=0,3, x_3=0,1 e os f(x_i) da tabela, obtemos o sistema
\begin{cases} a_0 + 0,5\,a_1 + 0,25\,a_2 = 0,25,\\[4pt] a_0 + 0,3\,a_1 + 0,09\,a_2 = 0,49,\\[4pt] a_0 + 0,1\,a_1 + 0,01\,a_2 = 0,81. \end{cases}
Em forma de matriz aumentada (Vandermonde aumentada):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0,5 & 0,25 & 0,25\\[4pt] 1 & 0,3 & 0,09 & 0,49\\[4pt] 1 & 0,1 & 0,01 & 0,81 \end{array}\right].]

Passo 4

Vamos eliminar a_0 subtraindo a primeira equação das outras duas (operações elementares de linhas). Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Como os números já estão em duas casas decimais, mantenho essa precisão (truncamento não altera aqui porque são representações exatas com duas casas):
Cálculos:
\begin{aligned} &0,3-0,5=-0,2,\\\ &0,09-0,25=-0,16,\\\ &0,49-0,25=0,24, \end{aligned} \quad\text{logo }R_2=[0,\,-0,2,\,-0,16\mid 0,24].
\begin{aligned} &0,1-0,5=-0,4,\\\ &0,01-0,25=-0,24,\\\ &0,81-0,25=0,56, \end{aligned} \quad\text{logo }R_3=[0,\,-0,4,\,-0,24\mid 0,56].
Agora o sistema reduzido (sem a_0) é
\begin{cases} -0,2\,a_1 -0,16\,a_2 = 0,24,\\[4pt] -0,4\,a_1 -0,24\,a_2 = 0,56. \end{cases}]

Passo 5

Para eliminar a_1 entre essas duas equações, observo que a segunda linha é aproximadamente o dobro da primeira em coeficientes de a_1, mas não exatamente em termos do termo independente; vou multiplicar a primeira por 2 e subtrair da segunda:
Multiplicando a primeira por 2:
2\cdot(-0,2\,a_1 -0,16\,a_2)= -0,4\,a_1 -0,32\,a_2 = 0,48.
Agora faço (linha multiplicada) menos a segunda linha:
(-0,4\,a_1 -0,32\,a_2) - (-0,4\,a_1 -0,24\,a_2) = 0,48 - 0,56.
No lado esquerdo os termos em a_1 se cancelam e restam os termos em a_2:
-0,32\,a_2 - (-0,24\,a_2) = -0,08\,a_2.
No lado direito:
0,48-0,56 = -0,08.
Portanto obtemos
-0,08\,a_2 = -0,08.
Dividindo ambos os lados por -0,08 (não nulo), chega-se a
a_2 = 1.

Passo 6

Com a_2=1 vamos achar a_1. Volto à primeira equação reduzida:
-0,2\,a_1 -0,16\cdot a_2 = 0,24.
Substituindo a_2=1:
-0,2\,a_1 -0,16 = 0,24.
Isolando -0,2\,a_1:
-0,2\,a_1 = 0,24 + 0,16 = 0,40.
Logo
a_1 = \frac{0,40}{-0,2} = -2.

Passo 7

Com a_1=-2 e a_2=1 encontramos a_0 usando a primeira equação original
a_0 + 0,5\,a_1 + 0,25\,a_2 = 0,25.
Substituindo:
a_0 + 0,5\cdot(-2) + 0,25\cdot 1 = 0,25.
Calculando os termos:
a_0 -1 +0,25 = 0,25 \;\Rightarrow\; a_0 -0,75 = 0,25.
Logo
a_0 = 0,25 + 0,75 = 1.

Passo 8

Portanto o polinômio interpolador encontrado é
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 = 1 -2x + x^2.
(Observação simpática: esse polinômio é exatamente (1-x)^2, o que explica a forma dos valores fornecidos na tabela.) Agora avalio em x=0,2:
p(0,2)=1 -2\cdot 0,2 + (0,2)^2.
Calculo passo a passo:
-2\cdot 0,2 = -0,4,\qquad (0,2)^2 = 0,04.
Então
p(0,2)=1 -0,4 + 0,04 = 0,64.
O enunciado pediu que eu use duas casas decimais por truncamento; o valor já tem duas casas decimais e é 0,64. (Se fosse mais dígitos, truncaria para duas casas.)

Resposta

f(0,2)\approx 0,64

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