Determinar o valor aproximado de f(0,2) pela aplicação da interpolação quadrática, segundo a tabela: (utilize 2 casas decimais por truncamento)
X
f(x)
0,5
0,25
0,3
0,49
0,1
0,81
a) Método de Vandermonde
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o valor de f(0,2) usando interpolação quadrática e especifica o método: Método de Vandermonde.
Peguei os dados da tabela (valores fornecidos no enunciado):
Objetivo explícito: construir o polinômio quadrático interpolador p(x) que passa por esses três pontos usando a matriz de Vandermonde e então calcular p(0,2). Vou mostrar passo a passo como montar e resolver o sistema linear e como avaliar o polinômio.]
Passo 2
Modelo do polinômio quadrático: suponha
p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2,
onde a_0,a_1,a_2 são os coeficientes desconhecidos. Para cada par (x_i,f(x_i)) temos uma equação linear:
a_0 + a_1 x_i + a_2 x_i^2 = f(x_i).
Com os três pontos vamos ter um sistema de 3 equações e 3 incógnitas. A matriz que aparece é a chamada matriz de Vandermonde:
Vamos eliminar a_0 subtraindo a primeira equação das outras duas (operações elementares de linhas). Faço R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Como os números já estão em duas casas decimais, mantenho essa precisão (truncamento não altera aqui porque são representações exatas com duas casas):
Cálculos:
Para eliminar a_1 entre essas duas equações, observo que a segunda linha é aproximadamente o dobro da primeira em coeficientes de a_1, mas não exatamente em termos do termo independente; vou multiplicar a primeira por 2 e subtrair da segunda:
Multiplicando a primeira por 2:
(Observação simpática: esse polinômio é exatamente (1-x)^2, o que explica a forma dos valores fornecidos na tabela.) Agora avalio em x=0,2:
p(0,2)=1 -2\cdot 0,2 + (0,2)^2.
Calculo passo a passo:
-2\cdot 0,2 = -0,4,\qquad (0,2)^2 = 0,04.
Então
p(0,2)=1 -0,4 + 0,04 = 0,64.
O enunciado pediu que eu use duas casas decimais por truncamento; o valor já tem duas casas decimais e é 0,64. (Se fosse mais dígitos, truncaria para duas casas.)