Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede duas coisas:
- Mostrar que existe ao menos uma raiz (um zero) de
em . - Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação dessa raiz com erro absoluto menor que
.
Informações fornecidas importantes:
- A função é
. - O intervalo é
. - A tolerância exigida para o erro absoluto é
.
Passo 2
Mostrar que existe raiz em
.
Primeiro, calculo os valores de
nas extremidades do intervalo:
Temos
e
. Vou explicar por que isso garante existência de raiz.
Teorema (Valor Intermediário, explicação): se uma função é contínua em um intervalo e toma valores de sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então ela tem pelo menos um ponto onde se anula dentro do intervalo. Aqui
é contínua (a exponencial é contínua em toda
), logo
também é contínua em
. Como
e
têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um
tal que
. (De fato, essa raiz é
, mas não precisamos saber isso para aplicar o teorema.)
Passo 3
Explicar o método da bissecção e a estimativa de erro.
Idea do método (em palavras simples): dado um intervalo
onde
e
têm sinais opostos, calcula-se o ponto médio
. Se
paramos; se não, escolhe-se o subintervalo
ou
onde
muda de sinal e repete-se. A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido pela metade, então convergimos para a raiz.
Estimativa de erro (fórmula): após
bissecções, o comprimento do intervalo é
Se a aproximação final for o ponto médio do intervalo atual, o erro absoluto em relação à raiz é no máximo metade desse comprimento, isto é
No nosso caso inicial
. Queremos
. Isso implica
Portanto
deve satisfazer
, ou seja, precisamos de pelo menos
iterações (verificação rápida: com
temos erro
; com
o erro seria
). Conclusão: fazer 6 iterações garante erro absoluto menor que
.
Passo 4
Aplicar concretamente a bissecção durante 6 iterações (vou listar cada iteração, o ponto médio e o sinal de
para escolher o subintervalo).
Inicial:
,
,
.
- Iteração 1:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
- Iteração 2:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
- Iteração 3:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
- Iteração 4:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
- Iteração 5:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo intervalo: .
Novo intervalo:
- Iteração 6:
Como
e
, a raiz está em
.
Novo (final) intervalo após 6 iterações: .
Novo (final) intervalo após 6 iterações:
Passo 5
Escolher a aproximação final e estimativa de erro.
A aproximação usual é o ponto médio do intervalo final:
O erro absoluto está limitado por
onde
é a raiz exata. Como
, a exigência do enunciado foi satisfeita.
Comentário final curto e motivador: essa é a padroninha da bissecção — cortar o intervalo pela metade e checar sinais; faz poucos cálculos manuais e dá certeza do erro. Bonito, né? Dá para chegar muito rápido numa aproximação garantida.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz em
.
Aproximação por bissecção com erro absoluto menor que :
(erro
).
Aproximação por bissecção com erro absoluto menor que