Mostre que cada função a seguir possui ao menos um zero no intervalo indicado. Em seguida, aplique o método da bissecção para obter uma aproximação com erro absoluto menor que 10^{-2}.
(d) f(x)=e^{x}-2, \quad[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}-2 definida no intervalo [0,1] e pede duas coisas:
  • Mostrar que existe ao menos uma raiz (um zero) de f em [0,1].
  • Aplicar o método da bissecção para obter uma aproximação dessa raiz com erro absoluto menor que 10^{-2}.
Informações fornecidas importantes:
  • A função é f(x)=e^{x}-2.
  • O intervalo é [0,1].
  • A tolerância exigida para o erro absoluto é 10^{-2}.

Passo 2

Mostrar que existe raiz em [0,1].
Primeiro, calculo os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0)=e^{0}-2=1-2=-1,
f(1)=e^{1}-2=e-2\approx 0{,}718281828.
Temos f(0)=-1<0 e f(1)>0. Vou explicar por que isso garante existência de raiz.
Teorema (Valor Intermediário, explicação): se uma função é contínua em um intervalo e toma valores de sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então ela tem pelo menos um ponto onde se anula dentro do intervalo. Aqui x\mapsto e^{x} é contínua (a exponencial é contínua em toda \mathbb{R}), logo f(x)=e^{x}-2 também é contínua em [0,1]. Como f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. (De fato, essa raiz é c=\ln 2, mas não precisamos saber isso para aplicar o teorema.)

Passo 3

Explicar o método da bissecção e a estimativa de erro.
Idea do método (em palavras simples): dado um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos, calcula-se o ponto médio m=(a+b)/2. Se f(m)=0 paramos; se não, escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal e repete-se. A cada iteração o comprimento do intervalo é reduzido pela metade, então convergimos para a raiz.
Estimativa de erro (fórmula): após n bissecções, o comprimento do intervalo é
\frac{b-a}{2^{n}}.
Se a aproximação final for o ponto médio do intervalo atual, o erro absoluto em relação à raiz é no máximo metade desse comprimento, isto é
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
No nosso caso inicial b-a=1. Queremos \dfrac{1}{2^{n+1}}\le 10^{-2}. Isso implica
2^{n+1}\ge 100 \quad\Rightarrow\quad n+1 \ge \log_{2}(100)=\frac{\ln 100}{\ln 2}\approx 6{,}6438.
Portanto n deve satisfazer n\ge 6{,}6438-1, ou seja, precisamos de pelo menos n=6 iterações (verificação rápida: com n=6 temos erro \le 1/2^{7}=1/128\approx 0{,}0078125<0{,}01; com n=5 o erro seria 1/64\approx0{,}015625>0{,}01). Conclusão: fazer 6 iterações garante erro absoluto menor que 10^{-2}.

Passo 4

Aplicar concretamente a bissecção durante 6 iterações (vou listar cada iteração, o ponto médio e o sinal de f para escolher o subintervalo).
Inicial: [a_0,b_0]=[0,1], f(0)=-1<0, f(1)\approx 0{,}7182818>0.
  1. Iteração 1:
m_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
f(0{,}5)=e^{0{,}5}-2\approx 1{,}648721271-2=-0{,}351278729<0.
Como f(m_1)<0 e f(1)>0, a raiz está em [0{,}5,\,1].
Novo intervalo: [a_1,b_1]=[0{,}5,\,1].
  1. Iteração 2:
m_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
f(0{,}75)=e^{0{,}75}-2\approx 2{,}117000017-2=0{,}117000017>0.
Como f(0{,}5)<0 e f(0{,}75)>0, a raiz está em [0{,}5,\,0{,}75].
Novo intervalo: [a_2,b_2]=[0{,}5,\,0{,}75].
  1. Iteração 3:
m_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
f(0{,}625)=e^{0{,}625}-2\approx 1{,}868245957-2=-0{,}131754043<0.
Como f(0{,}625)<0 e f(0{,}75)>0, a raiz está em [0{,}625,\,0{,}75].
Novo intervalo: [a_3,b_3]=[0{,}625,\,0{,}75].
  1. Iteração 4:
m_4=\frac{0{,}625+0{,}75}{2}=0{,}6875.
f(0{,}6875)=e^{0{,}6875}-2\approx 1{,}988737-2=-0{,}011263<0.
Como f(0{,}6875)<0 e f(0{,}75)>0, a raiz está em [0{,}6875,\,0{,}75].
Novo intervalo: [a_4,b_4]=[0{,}6875,\,0{,}75].
  1. Iteração 5:
m_5=\frac{0{,}6875+0{,}75}{2}=0{,}71875.
f(0{,}71875)=e^{0{,}71875}-2\approx 2{,}051872-2=0{,}051872>0.
Como f(0{,}6875)<0 e f(0{,}71875)>0, a raiz está em [0{,}6875,\,0{,}71875].
Novo intervalo: [a_5,b_5]=[0{,}6875,\,0{,}71875].
  1. Iteração 6:
m_6=\frac{0{,}6875+0{,}71875}{2}=0{,}703125.
f(0{,}703125)=e^{0{,}703125}-2\approx 2{,}020056-2=0{,}020056>0.
Como f(0{,}6875)<0 e f(0{,}703125)>0, a raiz está em [0{,}6875,\,0{,}703125].
Novo (final) intervalo após 6 iterações: [a_6,b_6]=[0{,}6875,\,0{,}703125].

Passo 5

Escolher a aproximação final e estimativa de erro.
A aproximação usual é o ponto médio do intervalo final:
x_{\text{aprox}}=\frac{0{,}6875+0{,}703125}{2}=0{,}6953125.
O erro absoluto está limitado por
\lvert x_{\text{aprox}}-x^{*}\rvert \le \frac{b_6-a_6}{2}=\frac{0{,}703125-0{,}6875}{2}=\frac{1}{128}\approx 0{,}0078125,
onde x^{*} é a raiz exata. Como 0{,}0078125<0{,}01, a exigência do enunciado foi satisfeita.
Comentário final curto e motivador: essa é a padroninha da bissecção — cortar o intervalo pela metade e checar sinais; faz poucos cálculos manuais e dá certeza do erro. Bonito, né? Dá para chegar muito rápido numa aproximação garantida.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz em [0,1].
Aproximação por bissecção com erro absoluto menor que 10^{-2}: x\approx 0{,}6953125 (erro \le 1/128\approx 0{,}0078125).

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