Determine aproximações, com precisão de 10^{-4}, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
f(x)=x^{5}-x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}+x-4

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar, com precisão de 10^{-4}, todos os zeros reais do polinômio dado.\
Informação fornecida: a função polinomial
f(x)=x^{5}-x^{4}+2x^{3}-3x^{2}+x-4.
Nada mais foi fornecido. A tarefa é usar o método de Newton para obter as aproximações dos zeros reais com erro máximo 10^{-4}.

Passo 2

Explicando o método de Newton (do jeitinho didático): queremos resolver f(x)=0. A ideia é linearizar f em torno de uma aproximação x_n usando a reta tangente e tomar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Fazendo isso obtemos a fórmula iterativa
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x) é a derivada de f (a inclinação da reta tangente). Interpretando: f(x_n) é o valor atual da função; dividimos por a inclinação f'(x_n) para saber quanto corrigir a aproximação. Repetimos até que a correção seja pequena o suficiente. Como critério de parada escolhemos
|x_{n+1}-x_n|<10^{-4},
ou seja, a diferença entre iterações é menor que a precisão exigida. Isso garante que a aproximação final tem erro abaixo de 10^{-4} (prática padrão em provas).

Passo 3

Vamos calcular a derivada necessária para o método:
f'(x)=5x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-6x+1.
Sempre verifique se f'(x_n)\neq 0 durante as iterações (se fosse zero o passo de Newton falha).

Passo 4

Agora localizamos intervalos onde possam existir zeros reais (buscando mudanças de sinal). Avaliamos alguns pontos simples:
f(0)= -4,
f(1)=1-1+2-3+1-4=-4,
f(2)=32-16+16-12+2-4=18.
Há mudança de sinal entre x=1 (onde f(1)=-4) e x=2 (onde f(2)=18), portanto existe pelo menos um zero real em (1,2). Para x\le 0 observe que todos os termos em f(-x) ficam negativos (coeficientes formam todos termos negativos em f(-x)), então não há zeros reais negativos. Concluímos que todos os zeros reais (se houver mais de um) estarão em (0,\infty) e já temos pelo menos uma raiz em (1,2). Como o método pedido é Newton, vamos aplicar nele com um chute inicial no intervalo detectado.

Passo 5

Escolha do chute inicial: peguei
x_0=1{,}5,
porque está bem no meio do intervalo (1,2) onde vimos a mudança de sinal — é um bom início para Newton.

Passo 6

Primeira iteração (calcular f(x_0) e f'(x_0)):
Calculemos potências e valores exatos/decimais:
1{,}5^{2}=2{,}25,\quad 1{,}5^{3}=3{,}375,\quad 1{,}5^{4}=5{,}0625,\quad 1{,}5^{5}=7{,}59375.
Então
f(1{,}5)=7{,}59375-5{,}0625+2\cdot3{,}375-3\cdot2{,}25+1{,}5-4.
Note que 2\cdot3{,}375=6{,}75 e -3\cdot2{,}25=-6{,}75, esses dois se anulam, sobrando
f(1{,}5)=7{,}59375-5{,}0625+1{,}5-4=0{,}03125.
Ou seja f(1{,}5)=0{,}03125=\tfrac{1}{32}. Agora a derivada:
f'(1{,}5)=5\cdot5{,}0625-4\cdot3{,}375+6\cdot2{,}25-6\cdot1{,}5+1=17{,}3125.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_{1}=1{,}5-\frac{0{,}03125}{17{,}3125}=1{,}5-\frac{1}{554}=\frac{415}{277}\approx1{,}498196.

Passo 7

Segunda iteração (avaliar em x_1). Para manter clareza, vou calcular com quatro a seis casas intermediárias:
usando x_1\approx1{,}498196,
x_1^{2}\approx2{,}244591,\quad x_1^{3}\approx3{,}362839,\quad x_1^{4}\approx5{,}038192,\quad x_1^{5}\approx7{,}548197.
Então
f(x_1)\approx7{,}548197-5{,}038192+2\cdot3{,}362839-3\cdot2{,}244591+1{,}498196-4.
Calcule passo a passo:
7{,}548197-5{,}038192=2{,}510005,
2\cdot3{,}362839=6{,}725678,
-3\cdot2{,}244591=-6{,}733773.
Somando tudo:
2{,}510005+6{,}725678-6{,}733773+1{,}498196-4\approx0{,}000106.
Portanto f(x_1)\approx0{,}000106 (muito pequeno). A derivada:
f'(x_1)\approx5\cdot5{,}038192-4\cdot3{,}362839+6\cdot2{,}244591-6\cdot1{,}498196+1\approx17{,}217974.
Correção de Newton:
\Delta =\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\approx\frac{0{,}000106}{17{,}217974}\approx6{,}16\times10^{-6}.
Então
x_{2}=x_1-\Delta\approx1{,}498196-0{,}00000616\approx1{,}49818984.

Passo 8

Critério de parada: verifique a diferença entre iterações
|x_{2}-x_{1}|\approx6{,}16\times10^{-6}<10^{-4}.
Portanto podemos parar: a aproximação já alcançou a precisão desejada 10^{-4}. Pelo raciocínio e pelos sinais anteriores (não existem raízes negativas e a função, após um certo ponto, é estritamente crescente), concluímos que esse é o único zero real do polinômio.

Resposta

x\approx1{,}4982

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