Determine aproximações, com precisão de
, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
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Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar, com precisão de
, todos os zeros reais do polinômio dado.\
Informação fornecida: a função polinomial
Informação fornecida: a função polinomial
Nada mais foi fornecido. A tarefa é usar o método de Newton para obter as aproximações dos zeros reais com erro máximo
.
Passo 2
Explicando o método de Newton (do jeitinho didático): queremos resolver
. A ideia é linearizar
em torno de uma aproximação
usando a reta tangente e tomar a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. Fazendo isso obtemos a fórmula iterativa
Aqui
é a derivada de
(a inclinação da reta tangente). Interpretando:
é o valor atual da função; dividimos por a inclinação
para saber quanto corrigir a aproximação. Repetimos até que a correção seja pequena o suficiente. Como critério de parada escolhemos
ou seja, a diferença entre iterações é menor que a precisão exigida. Isso garante que a aproximação final tem erro abaixo de
(prática padrão em provas).
Passo 3
Vamos calcular a derivada necessária para o método:
Sempre verifique se
durante as iterações (se fosse zero o passo de Newton falha).
Passo 4
Agora localizamos intervalos onde possam existir zeros reais (buscando mudanças de sinal). Avaliamos alguns pontos simples:
Há mudança de sinal entre
(onde
) e
(onde
), portanto existe pelo menos um zero real em
. Para
observe que todos os termos em
ficam negativos (coeficientes formam todos termos negativos em
), então não há zeros reais negativos. Concluímos que todos os zeros reais (se houver mais de um) estarão em
e já temos pelo menos uma raiz em
. Como o método pedido é Newton, vamos aplicar nele com um chute inicial no intervalo detectado.
Passo 5
Escolha do chute inicial: peguei
porque está bem no meio do intervalo
onde vimos a mudança de sinal — é um bom início para Newton.
Passo 6
Primeira iteração (calcular
e
):
Calculemos potências e valores exatos/decimais:
Calculemos potências e valores exatos/decimais:
Então
Note que
e
, esses dois se anulam, sobrando
Ou seja
. Agora a derivada:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 7
Segunda iteração (avaliar em
). Para manter clareza, vou calcular com quatro a seis casas intermediárias:
usando ,
usando
Então
Calcule passo a passo:
Somando tudo:
Portanto
(muito pequeno). A derivada:
Correção de Newton:
Então
Passo 8
Critério de parada: verifique a diferença entre iterações
Portanto podemos parar: a aproximação já alcançou a precisão desejada
. Pelo raciocínio e pelos sinais anteriores (não existem raízes negativas e a função, após um certo ponto, é estritamente crescente), concluímos que esse é o único zero real do polinômio.