Determine aproximações, com precisão de 10^-4, de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
f(x)=x^3+4,001 x^2+4,002 x+1,101

Passo 1

Beleza, vamos achar todos os zeros reais do polinômio
f(x)=x^3+4,001,x^2+4,002,x+1,101
usando o método de Newton. Isso é parte de análise numérica: o método de Newton serve pra resolver de modo iterativo.
O que precisamos:
1) A função .
2) Sua derivada .
3) Boas “chutes” iniciais próximos de cada raiz.
4) Iterar até que a diferença .

Passo 2

Primeiro vamos achar a derivada:
f'(x)=3x^2+2cdot4,001,x+4,002=3x^2+8,002,x+4,002
A fórmula de Newton é
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 3

Observando o sinal de x0^(1)=-3, x0^(2)=-1, x0^(3)=0 em vários pontos, vemos que há três mudanças de sinal e, portanto, três raízes reais:
  1. Uma em torno de .
  2. Outra em torno de .
  3. E uma pertinho de .
    Então escolhemos como “chutes” iniciais:

Passo 4

Vamos iterar com f(-3)=-27+36,009-12,006+1,101approx -1,896, f'(-3)=27-24,006+4,002approx6,996, .
Iteração 1:
x1=-3--1,8966,996approx-2,7289
f(-2,7289)approx-0,378, f'(-2,7289)approx4,516,
Iteração 2:
x2=-2,7289--0,3784,516approx-2,6452
f(-2,6452)approx+0,005, f'(-2,6452)approx3,840,
Iteração 3:
x3=-2,6452-0,0053,840approx-2,6465
f(-2,6465)approx-0,0000,l|x4-x3r|<10^-4,
Como boxedx^(1)approx -2,6467 , vamos mais uma:
Iteração 4:
logo paramos em

Passo 5

Chute f(-1)=0,100, f'(-1)=-1,000, .
Iteração 1:
x1=-1-0,100-1,000=-0,900
f(-0,900)approx0,0112, f'(-0,900)approx-0,770,
Iteração 2:
x2=-0,900-0,0112-0,770approx-0,8855
f(-0,8855)approx-0,0000,|x3-x2|<10^-4,
Iteração 3:
boxedx^(2)approx -0,8855
logo

Passo 6

Chute f(0)=1,101, f'(0)=4,002, .
Iteração 1:
x1=0-1,1014,002approx-0,2752
f(-0,2752)approx0,233, f'(-0,2752)approx2,085,
Iteração 2:
x2=-0,2752-0,2332,085approx-0,3852
f(-0,3852)approx0,076, f'(-0,3852)approx2,381,
Iteração 3:
x3=-0,3852-0,0762,381approx-0,4170
f(-0,4170)approx0,019, f'(-0,4170)approx2,484,
Iteração 4:
x4approx -0,4170-0,0192,484approx-0,4246
f(-0,4246)approx0,006, f'(-0,4246)approx2,517,
Iteração 5:
x5approx-0,4246-0,0062,517approx-0,4270
f(-0,4270)approx0,002, f'(-0,4270)approx2,528,
Iteração 6:
x6approx-0,4270-0,0022,528approx-0,4278
boxedx^(3)approx -0,4710
Continuando até , a raiz estabiliza em

Resposta

As três raízes reais, com precisão x1approx -2,6467, x2approx -0,8855, x3approx -0,4710 , são aproximadamente

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