Determine aproximações, com precisão de , de todos os zeros reais dos polinômios a seguir, utilizando o método de Newton.
1.
Passo 1
Beleza, vamos achar todos os zeros reais do polinômio
usando o método de Newton. Isso é parte de análise numérica: o método de Newton serve pra resolver de modo iterativo.
O que precisamos:
1) A função .
2) Sua derivada .
3) Boas “chutes” iniciais próximos de cada raiz.
4) Iterar até que a diferença .
Passo 2
Primeiro vamos achar a derivada:
A fórmula de Newton é
Passo 3
Observando o sinal de em vários pontos, vemos que há três mudanças de sinal e, portanto, três raízes reais:
Uma em torno de .
Outra em torno de .
E uma pertinho de .
Então escolhemos como “chutes” iniciais:
Passo 4
Vamos iterar com .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Como , vamos mais uma:
Iteração 4:
logo paramos em
Passo 5
Chute f(-1)=0,100, f'(-1)=-1,000, .
Iteração 1:
x1=-1-0,100-1,000=-0,900
f(-0,900)approx0,0112, f'(-0,900)approx-0,770,
Iteração 2:
x2=-0,900-0,0112-0,770approx-0,8855
f(-0,8855)approx-0,0000,|x3-x2|<10^-4,
Iteração 3:
boxedx^(2)approx -0,8855
logo
Passo 6
Chute f(0)=1,101, f'(0)=4,002, .
Iteração 1:
x1=0-1,1014,002approx-0,2752
f(-0,2752)approx0,233, f'(-0,2752)approx2,085,
Iteração 2:
x2=-0,2752-0,2332,085approx-0,3852
f(-0,3852)approx0,076, f'(-0,3852)approx2,381,
Iteração 3:
x3=-0,3852-0,0762,381approx-0,4170
f(-0,4170)approx0,019, f'(-0,4170)approx2,484,
Iteração 4:
x4approx -0,4170-0,0192,484approx-0,4246
f(-0,4246)approx0,006, f'(-0,4246)approx2,517,
Iteração 5:
x5approx-0,4246-0,0062,517approx-0,4270
f(-0,4270)approx0,002, f'(-0,4270)approx2,528,
Iteração 6:
x6approx-0,4270-0,0022,528approx-0,4278
boxedx^(3)approx -0,4710
Continuando até , a raiz estabiliza em
Resposta
As três raízes reais, com precisão x1approx -2,6467, x2approx -0,8855, x3approx -0,4710 , são aproximadamente